• Римское Владычество - Часть I
• падение тамплиеров - Часть II
• Жанна д'Арк
• Король-Солнце

(для того чтобы) Комментировать страницу Нажмите, чтобы динамически добавить еще один пункт меню

О сильном римского владычества количество графиков МП Альварес-Руис , И. Гонсалес Yero , Т. Mediavilla-Gradolph , SM Шейхолеслами , JC Валенсуэла (Представлено 13 фев 2015 ( v1 ), последняя редакция 1 Авг 2015 (эту версию, v2)) На основании истории, что император Константин объявил, что любой незащищенные места (без легионов) Римской империи должны быть защищены "сильнее" соседа месте (имеющего два легиона), был описан график теоретическая модель называется Римское владычество в графах. Римский функция полезным для графа G = ( V, E), Является функцией е: V→ { 0 , 1 , 2 } таким образом, что каждая вершина v с е( V ) = 0 имеет по меньшей мере соседа вес в г для которого е( Ж ) = 2, Римское владычество число графа является минимальный вес,Σv ∈ Vе( V ), Римской функции доминирующей. В этой статье мы начинаем изучение нового параметра, связанного с римского владычества, которое мы называем сильной число римского господства и обозначим его γSт R( G ), Мы подходим к проблеме римской оборонительной стратегии доминирование типа под несколькими одновременными атаками и начать с изучения нескольких математических свойств этого инварианта. В частности, мы впервые показывают, что проблема решение о вычисление сильного римскими цифрами доминирование NP-полной, даже при ограничении на двудольных графов. Получено несколько оценок на таком параметре, и дать некоторые результаты реализуемости для него. Кроме того, доказано, что для любого дереваТ порядка п ≥ 3, γSт R( T) ≤ 6 н / 7 и характеризуют все экстремальные деревья. Комментарии: 23 страницы Предметы: Комбинаторика (math.CO) MSC классы: 05C69 Cite, как: Arxiv: 1502,03933 [math.CO] (или Arxiv: 1502.03933v2 [math.CO] для этой версии) История Подача От: Исмаэль Гонсалес Yero [ вид электронной ] [v1] Пт, 13 фев 2015 10:14:29 GMT (16Kb) [v2] Сб, 1 авг 2015 12:19:25 GMT (25kb) Каких авторов этого документа являются индоссанты? | Отключить MathJax ( ? ​​Что MathJax )

Римское владычество в графах Эрни J Cockayne ,Павлу Драйер младший б ,, , Сандра М Hedetniemi гр ,Стивен Т Hedetniemi гр Показать больше DOI: 10.1016 / j.disc.2003.06.004 Получить права и содержание Под Elsevier лицензией пользователя Открыть архив Абстрактные Роман функция полезным на графике G = ( V , E ) является функциейПолноразмерная изображения (<1 К)удовлетворяющих условию, что каждая вершина у , для которых F ( U ) = 0 примыкает к, по меньшей мере одна вершина V , для которых F ( v ) = 2. Вес римской функции доминирующей является значение F ( V ) = Σ U ∈ V е ( у ). Минимальный вес римской функции доминирующей на графике G называется римского владычества число из G . В данной работе мы исследуем график теоретические свойства этого варианта доминирования числа графа. Ключевые слова Теория графов ;Доминирование ;Дислокация 1. Введение Пусть G = ( V , E ) является граф из порядка | V | = п . Для любой вершины об ∈ V , то открытая окрестность V есть множество N ( v ) = { U ∈ V | уф ∈ E } и замкнутая окрестность называется множество N [ v ] = N ( v ) ∪ { v }. Для набора S ⊆ V , открытое соседство N ( S ) = ⋃ v ∈ S N ( v ) и замкнутая окрестность является N [ S ] = N ( S ) ∪ S . Пусть v ∈ S ⊆ V . Vertex у называется личное соседа против относительно S (обозначение U является S -pn из V ), если у ∈ N [ v ] - N [ S - { v }]. S -pn из V является внешним , если оно является вершиной V - S . Множество р ( v , S ) = N [ v ] - N [ S - { v }] всего S -pn-х против называется личное окрестность набор V по отношению к S . Множество S называется тупиковым , если для каждого V ∈ S , PN ( об , S ) ≠ ∅. Набор S ⊆ V является полезным установить , если N [ S ] = V , или, что эквивалентно, каждая вершина в V - S смежна по крайней мере с одной вершиной из S . Номер доминирование γ ( G ) является минимальным мощность доминирующее установленного в G , и доминирующее множество S минимальной мощности называется γ - множество из G . Отметим, для дальнейшего использования, что каждый минимальный набор полезным является максимальным множеством тупиковым, но не наоборот. Например, две смежные вершины на цикле C 5 длины пять образуют максимальную тупиковым набор, который не является доминирующим множеством. Набор S вершин называется независимым , если никакие две вершины в S не являются смежными. Независимым доминирование число я ( G ) является минимальным мощность множества S вершин, который является одновременно независимы и полезным, или, что эквивалентно, который является наибольшее независимое множество. Набор S вершин называется 2- упаковка если для любой пары вершин U , V ∈ S , N [ U ] ∩ N [ v ] = ∅. 2- упаковка число P 2 ( G ) графа G является максимальным мощность 2-упаковки в G . Наконец, набор S вершин называется вершина крышки , если для каждого ребра уф ∈ E , либо U ∈ S или об ∈ S . В данной работе мы исследуем вариант числа доминирования который предложенной недавней статье в журнале Scientific American Яна Стюарта, озаглавленной "Защитим Римскую империю!" [10] . Роман функция полезным на графике G = ( V , E ) является функциейПолноразмерная изображения (<1 К)удовлетворяющих условию, что каждая вершина у , для которых F ( U ) = 0 примыкает к, по меньшей мере одна вершина V , для которых F ( v ) = 2. Заявлено, другими словами, римский функция полезным является раскраска вершин графа с цветами {0,1,2}, что каждая вершина окрашена 0 смежна по крайней мере с одной вершиной цветного 2. Определение римской доминирующего функция задается неявно в [10] и [9] . Идея заключается в том, что цвета 1 и 2 представляют одну или две римские легионы дислоцированных в данном месте (вершины V ). Соседняя расположение (соседнюю вершину у ) считается необеспеченной , если нет легионы не размещены там (т.е. F ( U ) = 0). Необеспеченных расположение ( у ) может быть обеспечено путем отправки легион U от соседней адресом ( v ). Но император Константин Великий, в четвертом веке нашей эры, постановил, что легион не может быть отправлено из местонахождения V , если это выходит, что расположение необеспеченный (т.е. если е ( v ) = 1). Таким образом, два легиона должны быть размещены в местах, ( F ( об ) = 2) перед одним из легионов могут быть отправлены в соседнюю месте. В недавней книге Основы доминирование в графах [6] приведены в приложении, много разновидностей доминирующих множеств, которые были изучены. Похоже, что ни один из тех, которые перечислены не такие же, как римские доминирующих множествах. Таким образом, Римское владычество, как представляется, новый сорт как исторического и математический интерес. 2. Свойства римских доминирующих множествах Для графа G = ( V , E ), пустьПолноразмерная изображения (<1 К), И пусть ( V 0 , V 1 , V 2 ) упорядоченный раздел V индуцируется F , где V я = { v ∈ V | е ( v ) = я } и | V я | = п я , для I = 0,1,2. Обратите внимание, что существует 1-1 соответствие между функциямиПолноразмерная изображения (<1 К)и упорядоченные перегородки ( V 0 , V 1 , V 2 ) из V . Таким образом, мы будем писать п = ( V 0 , V 1 , V 2 ). Функция F = ( V 0 , V 1 , V 2 ) является функция Роман полезным ( RDF ), если V 2 ≻ V 0 , где ≻ означает, что множество V 2 доминирует множество V 0 , т.е. V 0 ⊆ N [ V 2 ]. Вес F является F ( V ) = Σ v ∈ V е ( v ) = 2 п 2 + п 1 . Римский номер доминирование , обозначается γ R ( G ), равна минимальной массе RDF из G , и мы говорим, что функция F = ( V 0 , V 1 , V 2 ) является γ R - функция , если она является RDF и F ( V ) = γ R ( G ). Предложение 1. Для любого графа G , Полноразмерная изображения (<1 К) Доказательство. Пусть F = ( V 0 , V 1 , V 2 ) быть γ R -функция, и пусть S быть γ -множеством G . Затем V 1 ∪ V 2 является полезным набор G и (∅, ∅, S ) является римско функция полезным. Следовательно, γ ( G ) ⩽ | V 1 | + | V 2 | ⩽ | V 1 | +2 | V 2 | = Г Р ( G ). Но Г R ( G ) ⩽2 | S | = 2 γ ( G ). □ Предложение 2. Для любого графа G порядка п , гамма ( G ) = & gamma R ( G ) тогда и только тогдаПолноразмерная изображения (<1 К), Доказательство. Очевидно, что если Полноразмерная изображения (<1 К)Затем γ ( G ) = γ R ( G ). Пусть F = ( V 0 , V 1 , V 2 ) быть γ R -функция. Равенства γ ( G ) = γ R ( G ) следует, что мы имеем равенство в Г ( G ) ⩽ | V 1 | + | V 2 | = | V 1 | +2 | V 2 | = Г Р ( G ). Следовательно, | V 2 | = 0, откуда следует, что V 0 = ∅. Поэтому, γ R ( G ) = | V 1 | = | V | = п . Это подразумевает, что γ ( G ) = п , которая, в свою очередь, означает, чтоПолноразмерная изображения (<1 К), □ Предложение 3. Пусть F = ( V 0 , V 1 , V 2 ) быть любой γ R - функция. затем (А) G [ V 1 ], подграф, индуцированный V 1 имеет максимальную степень 1. (Б) Нет край G не присоединяется V 1 и V 2 . (С) Каждая вершина V 0 смежна не более чем из двух вершин V 1 . (D) V 2 представляет собой γ - набор G [ V 0 ∪ V 2 ]. (Е) Пусть H = G [ V 0 ∪ V 2 .] Тогда каждая вершина v ∈ V 2 имеет по крайней мере два Н - р ' s ( т.е. частные соседи по отношению к V 2 в графе H ). (Е) Если v изолирована в G [ V 2 ] и имеет ровно один внешний H - рп , говорю ж ∈ V 0 , то N ( W ) ∩ V 1 = ∅. (г) Пусть K 1 равной количество неизолированных вершин в G [ V 2 ], пустьПолноразмерная изображения (<1 К), И пусть | С | = гр . Тогда п 0 ⩾ N 2 + K 1 + C . Доказательство. Мы опускаем доказательства (а) - (E); они ясны. (Е) Предположим противное, то есть, N ( ж ) ∩ V 1 ≠ ∅. Сформировать новую функцию, изменяя функциональные значения V и каждого у ∈ N ( W ) ∩ V 1 до 0, а значение F ( ш ) до 2. Это RDF с меньшим весом, чем F , который является противоречие. (г) Пусть K 0 равно числу изолированных вершин в G [ V 2 ], так что к 0 + K 1 = п 2 . (Е), п 0 ⩾ K 0 +2 к 1 + гр = п 2 + K 1 + C , как требуется. □ Предложение 4. Пусть F = ( V 0 , V 1 , V 2 ) быть γ R - функцию точечном свободной графе G , такое, что п 1 является минимальным. затем (А) V 1 не зависит , и V 0 ∪ V 2 является вершиной покрытие. (Б) V 0 ≻ V 1 . (С) Каждая вершина V 0 смежна не более чем с одной вершиной V 1 , т.е. V 1 представляет собой 2- упаковка . (D) Пусть v ∈ G [ V 2 ] имеют ровно два внешних H - рп " ы ш 1 и ш 2 в V 0 . Тогда не существует вершины у 1 , у 2 ∈ V 1 , такие, что ( у 1 , ш 1 , v , ш 2 , у 2 ) представляет собой последовательность вершина пути Р 5 . (Е) п 0 ⩾3 п / 7, и эта оценка является точной даже для деревьев. Доказательство. Опять же, мы опускаем доказательства (а) - (C); они ясны. (D) Предположим противное. Сформировать новую функцию, изменяя функциональные значения ( у 1 , ш 1 , V , W 2 , у 2 ) из (1,0,2,0,1) до (0,2,0,0,2). Новая функция является γ R -функция с меньшим количеством 1-х, то есть он имеет меньшее значение п 1 , который представляет собой противоречие. (Е) Определить гр , как в предложении 3 (г). Пусть я , я = 1,2, ..., Δ ( G ), равна числу вершин V 2 , которые имеют ровно я H -pn находится в V 0 . По предложению 3 (е), (е) и предложение 4 (с), (d), мы имеем Уравнение ( 1 ) Полноразмерная изображения (<1 К) Уравнение ( 2 ) Полноразмерная изображения (<1 К) Уравнение ( 3 ) Полноразмерная изображения (<1 К) Следовательно, Полноразмерная изображения (<1 К) Следовательно, п 0 ⩾3 п / 7 по мере необходимости. Дерево T с семью вершинами V = { U , U 1 , U 2 , U 3 , v 1 , v 2 , v 3 }, где U примыкает к U 1 , U 2 и U 3 и U я примыкает к v я , я = 1,2,3, имеет Г R ( T ) = 5, а γ R -функцию, определенную F = ( V 0 , V 1 , V 2 ) = ({ U 1 , U 2 , U 3 }, { v 1 , v 2 , v 3 }, { у }), и достигает связанного г N 0 = 3 п / 7 = 3. □ Следствие 1. Для любого нетривиального связного графа G , Полноразмерная изображения (<1 К) Доказательство. Пусть F = ( V 0 , V 1 , V 2 ) быть γ R -функция графа G . Из предложения 4 (а) и (в) можно предположить, что V 1 представляет собой 2-упаковка. Это следует из предложения 3 (D), что V 2 представляет собой γ -множеством графа G - S получается из G , удалив все вершины в V 1 . Таким образом,Полноразмерная изображения (<1 К), Обратно, пусть V 1 быть 2-упаковки для которых 2 γ ( G - S ) + | S | является минимальным, и пусть V 2 быть γ -множеством G - V 1 . Тогда ( V - V 1 - V 2 , V 1 , V 2 ) является RDF, и γ R ( G ) ⩽2 | V 2 | + | V 1 | = тт {2 γ ( G - S ) + | S |: S является 2-упаковка}. □ Следующую оценку снизу для Римское владычество количество любого графа доказывается [3] . Предложение 5. Для любого графа G порядка п и максимальной степени А , Полноразмерная изображения (<1 К) В заключение этого раздела с верхней границей на гамма R ( G ), используя вероятностный метод, аналогичный тому, который используется Alon и Спенсер в [1] . Предложение 6. Для графа G на п вершин , Полноразмерная изображения (<1 К) Доказательство. Учитывая график G , выбрать набор вершин A , где каждая вершина, независимо выбранными с вероятностью р (с р должны быть определены позже). Ожидаемого размера А это NP . Пусть B = V - N [ ], вершины не доминируют . Очевидно е = ( V - ( ∪ B ), B , ) является RDF для G . Теперь вычислим ожидаемую величину B . Вероятность того, что v находится в B равна вероятности того, что v не в А и что ни одна из вершин в А пока сосед против . Эта вероятность (1- р ) 1 + град ( v ) . Так как е - х ⩾1- х для любого х ⩾0 и град ( v ) ⩾ δ ( G ), мы можем заключить, что Pr ( v ∈ B ) ⩽e - р (1+ δ ( G )) . Таким образом, ожидаемый размер B составляет не более п е - р (1+ δ ( G )) , и ожидается, вес F , обозначается E [ F ( V )], составляет не более 2 н.п. + п е - р ( 1+ δ ( G )) . Верхняя граница для E [ F ( V )] сводится к минимуму, когда р = LN ((1+ δ ( G )) / 2) / (1+ δ ( G )) (это легко показать, используя исчисление), и подставляя это значение в течение р дает: Полноразмерная изображения (<1 К) Поскольку ожидаемое вес ф ( V ) не более чем п (2 + LN ((1+ δ ( G )) / 2)) / (1+ δ ( G )), должна быть какая-RDF с не более чем этого веса , Оказывается, что эта оценка является точной, достигается, когда G является объединением непересекающихся п / 2 копий K 2 . □ 3. Конкретные значения римскими цифрами господство В этом разделе мы проиллюстрируем римские цифры доминация, представляя значение гамма R ( G ) в течение нескольких классов графов. Некоторые доказательства просты и опущены. Следующие два классы графов достижения нижней границы предложения 5 . Предложение 7. Для классов путей P н и циклы C п , Полноразмерная изображения (<1 К) Для класса полных многодольных графов K м 1 , ..., т п есть три случая, чтобы рассмотреть. Предложение 8. Пусть G = K м 1 , ..., т п быть полным п - дольный граф с м 1 ⩽ м 2 ⩽ ⋯ ⩽ м н . (А) Если м 1 ⩾3 затем γ R ( G ) = 4. (Б) Если м 1 = 2 , то γ R ( G ) = 3. (С) Если м 1 = 1 , то γ R ( G ) = 2. Предложение 9. Если G представляет собой график, порядка п , которая содержит вершину степени п -1, то γ ( G ) = 1 и γ R ( G ) = 2. Для произвольных графов G и H , мы определяем декартово произведение из G и H , чтобы граф G □ Н с вершинами {( U , V ) | U ∈ G , v ∈ H }. Две вершины ( U 1 , v 1 ) и ( U 2 , v 2 ) смежны в G □ Н тогда и только тогда один из следующих условий: U 1 = U 2 и v 1 примыкает к V 2 в Н ; или v 1 = v 2 и U 1 примыкает к U 2 в G . Если G = P м и Н = Р п , то декартово произведение G □ Н называется м × н сетки графика и обозначается G м , н . Предложение 10. Для 2 × N графа сетки G 2, п , γ R ( G 2, п ) = п + 1. Доказательство. Мы только показать, по построению (ср рис. 1 ), то гамма R ( G 2, п ) ⩽ п +1. Обратное неравенство является прямым. Конструкции для G2, п, 1⩽n⩽6. Заполненные кружки обозначают вершины в V2, ... Инжир. 1. Конструкции для G 2, п , 1⩽ н ⩽6. Заполненные круги обозначают вершины в V 2 , пустые кружки обозначают вершины в V 1 . варианты Фигура Пусть вершины G 2, п обозначим v 1,1 , ..., v 1, п , v 2,1 , ..., v 2, п и определим RDF г следующим образом: для каждого я такой, что 2 + 4 I ⩽ п , пусть г ( V 2,2 + 4 I ) = 2, и для каждого J такое, что 4 J ⩽ п , пусть г ( v 1,4 J ) = 2. Пусть г ( v 1,1 ) = 1, и еслиПолноразмерная изображения (<1 К)Пусть г ( V 2, п ) = 1, и еслиПолноразмерная изображения (<1 К)Пусть г ( V 1, п ) = 1. Для всех остальных вершин U , пусть г ( у ) = 0. Нетрудно видеть, что г является RDF и что г ( V ) = п +1. □ Один заключительный класс графов представляет некоторый интерес. Для еще н , положим ( п / 2) К 2 обозначим график, состоящий из п / 2 копии полного графа K 2 на двух вершин. Предложение 11. Если G является любой изолят-граф без порядка п , то γ R ( G ) = п тогда и только тогда п четно и G = ( N / 2) К 2 . Доказательство. Если G = ( N / 2) К 2 , то каждое ребро способствует по крайней мере два Г R ( G ), и, следовательно, п ⩽ & gamma R ( G ) ⩽ п . Предположим поэтому, что & gamma R ( G ) = п . Если G имеет два инцидента края UV и VW , то ф = ( V 0 , V 1 , V 2 ), где V 0 = { U , W }, V 1 = V - { U , V , W } и V 2 = { v }, определяет римской функцию доминирующее. Следовательно, γ R ( G ) ⩽ | V 1 | +2 | V 2 | = п -1, что является противоречием. Следовательно, нет двух краев G не падают, а с G является изолировать свободной, следует вывод. □ 4. Графы с гамма R ( G ) ⩽ & gamma ( G ) +2 Из предложения 1 , мы знаем, что: Полноразмерная изображения (<1 К) Но с предложению 2 мы знаем, что эта нижняя граница достигается только тогда, когдаПолноразмерная изображения (<1 К), Таким образом, если G является связным графом, то γ R ( G ) ⩾ γ ( G ) +1. Подключенные графики G с γ R -функций весовых Г ( G ) +1 и Г ( G ) +2 имеют очень специфическую структуру, которая будет показана в следующих положениях. Предложение 12. Если G является связным графом порядка п , то гамма R ( G ) = Г ( G ) +1 тогда и только тогда существует вершина v ∈ V степени п - γ ( G ). Доказательство. ⇐: Пусть G имеет вершину V степени п - & gamma ( G ). Если V 2 = { v }, V 1 = V - N [ v ], и V 0 = V - V 1 - V 2 , то V 1 ∪ V 2 представляет собой γ -множеством G и ф = ( V 0 , V 1 , V 2 ) является RDF с F ( V ) = Г ( G ) +1. Так гамма R ( G ) ⩾ Г ( G ) +1 для связных графов, F является γ R -функция для G . ⇒: Для того, чтобы римской функции полезным F = ( V 0 , V 1 , V 2 ), чтобы иметь вес Г ( G ) +1, либо (1) | V 1 | = & gamma ( G ) +1 и | V 2 | = 0 или (2) | V 1 | = γ ( G ) -1 и | V 2 | = 1. Любое другое расположение весовых Г ( G ) +1 будет иметь | V 1 | + | V 2 | < γ ( G ). В случае (1), так как | V 2 | = 0, то V 1 = V . По теореме руды [6, с. 41] , γ ( G ) ⩽ п / 2 для связного графа G на п вершин. Таким образом, п = γ ( G ) + 1⩽ п / 2 + 1, откуда следует, что п ⩽2. Это легко проверить, что γ R ( P 2 ) = 2 = γ ( P 2 ) +1, и P 2 имеет вершину степени 1. В случае (2), пусть F = ( V 0 , V 1 , V 2 ) быть γ R -функция для G весовых Г ( G ) +1, где | V 1 | = Г ( G ) -1 и | V 2 | = 1. Пусть V 2 = { v }. Поскольку ни края G не присоединяется V 1 и { V } и { V } ≻ V 0 , град ( v ) = | V 0 | = п - | V 1 | - | V 2 | = п - γ ( G ). □ Далее мы охарактеризовать класс деревьев Т , для которых γ R ( T ) = γ ( G ) +1. Для натурального числа т , А раненых паук звезда К 1, т не более чем с т -1 ее ребер подразделяются. Аналогичным образом, для целого т ⩾2, А здоровый паук звезда К 1, т со всеми своими краями подразделяются. В раненой паука, вершина степени т будет называться глава вершина , а вершины, которые расстояние два из головного вершины будут нога вершины . Вершины головная и ножная четко определены исключением случаев, когда раненых паук путь на двух или четырех вершин. Для Р 2 , мы будем рассматривать обе вершины быть головные вершины, и в случае Р 4 , мы будем рассматривать как endvertices как стопы вершин и обеих внутренних вершин в качестве главы вершин. Предложение 13. Если Т дерево на двух или более вершин , то γ R ( T ) = γ ( T ) +1 тогда и только тогда Т является раненых паук. Доказательство. ⇐: Пусть T быть ранены паук и пусть v быть главой вершина. ПозволятьПолноразмерная изображения (<1 К)множество пешеходных вершин. Очевидно, { V } U S образует & gamma множеством для Т . Кроме того, если V 0 = V - S - { v }, V 1 = S , и V 2 = { v }, а затем F = ( V 0 , V 1 , V 2 ) является RDF с ф ( V ) = γ ( Т ) +1. Поэтому, е является γ R -функция. ⇒: Пусть F = ( V 0 , V 1 , V 2 ) быть γ R -функция для T весовых Г ( Т ) +1. Как и в доказательстве предложения 12 , либо T = P 2 , или | V 1 | = γ ( G ) -1, а | V 2 | = 1. Пусть V 2 = { v }. Тогда | N ( v ) | = | V 0 | = п - γ ( T ). Поскольку | V 1 | сворачивается в F , по предложению 4 (с), каждая вершина V 0 смежна не более чем с одной вершиной V 1 . И наоборот, поскольку Т связано, V 1 не зависит, и V 1 и V 2 нет грани между ними, каждый член V 1 должна быть присоединена к члену V 0 . Кроме того, не каждая вершина в V 0 может быть рядом с членом V 1 , то есть, T не может быть здоровой паук. Если бы это было так, то V 0 образует γ множеством для Т и град ( v ) = | V 0 | <| V 0 | + 1 = | V 1 | + | V 2 | = | V 0 | + | V 1 | + | V 2 | - | V 0 | = П - γ ( T ), что является противоречием. Следовательно, Т является раненых паук. □ Далее мы охарактеризовать класс графов, для которых Г R ( G ) = Г ( G ) +2. Предложение 14. Если G является связным графом порядка п , то γ R ( G ) = γ ( G ) +2 тогда и только тогда : (А) G не имеет вершину степени п - & gamma ( G ). (Б) либо G имеет вершину степени п - & gamma ( G ) -1 или G имеет две вершины V и W , такие, что | N [ v ] ∪ N [ ш ] | = п - γ ( G ) +2. Доказательство. ⇐: По (а), мы знаем, что γ R ( G )> & gamma ( G ) +1. Если G имеет вершину V степени п - & gamma ( G ) -1, и мы определяем V 0 = N ( v ), V 1 = V - N [ v ], и V 2 = { v }, а затем F = ( V 0 , V 1 , V 2 ) является RDF с F ( V ) = Г ( G ) +2, и, следовательно, является γ R -функция. Если есть две вершины v и ш такие, что | N [ v ] ∪ N [ ш ] | = п - γ ( G ) +2, и мы определяем V 0 = N [ V ] ∪ N [ ш ] - { V , ж }, V 1 = V - ( N [ v ] ∪ N [ ш ]), и V 2 = { v , ш }, то F = ( V 0 , V 1 , V 2 ) является RDF с F ( V ) = γ ( G ) +2, и, следовательно, является γ R -функция. ⇒: Для того, чтобы в RDF F = ( V 0 , V 1 , V 2 ), чтобы иметь вес Г ( G ) +2, либо (1) | V 1 | = γ ( G ) +2 и | V 2 | = 0, (2) | V 1 | = γ ( G ) и | V 2 | = 1, или (3) | V 1 | = γ ( G ) -2 и | V 2 | = 2. Для того, чтобы такой F , чтобы быть γ R -функцию, не может быть никакого другого Римская полезным функция весовых Г ( G ) +1, откуда следует, что G не имеет вершину степени п - & gamma ( G ). В случае (1), если | V 2 | = 0, то V 1 = V . Снова используя теорему руды в [6, с. 41] , п = γ ( G ) + 2⩽ п / 2 + 2, откуда следует, что п ⩽4. Простой анализ связных графов на четырех или меньшим числом вершин показывает, что γ R ( G ) = γ ( G ) +1 для всех таких графов. В случае (2), пусть F = ( V 0 , V 1 , V 2 ) быть γ R -функция для G весовых Г ( G ) +2 с | V 1 | = Г ( G ) и | V 2 | = 1. Пусть V 2 = { v }. Поскольку ни края G не присоединяется V 1 и V , а v ≻ V 0 , следует, что град ( v ) = | V 0 | = п - | V 1 | - | V 2 | = п - γ ( G ) -1 , В случае (3), пусть F = ( V 0 , V 1 , V 2 ) быть γ R -функция для G весовых Г ( G ) +2 с | V 1 | = Г ( G ) -2 и | V 2 | = 2. Пусть V 2 = { v , ш }. Поскольку ни одно ребро не соединяет V 1 к V или W и { v , ш } ≻ V 0 , следует, что | N [ v ] ∪ N [ ш ] | = п - | V 1 | = п - ( γ ( G ) - 2) = п - γ ( G ) +2. □ Следствие 2. Если G является связным графом и γ R ( G ) = γ ( G ) +2, то 2⩽rad ( G ) ⩽4 и 3⩽diam ( G ) ⩽8. Можно использовать предложение 11, чтобы получить характеристику деревьев, для которых γ R ( T ) = γ ( T ) +2. Опять же, пауки играют важную роль. Эта классификация носит технический и мы не даем детали. Предложение 15. Если Т представляет собой дерево порядка п ⩾2, то γ R ( T ) = γ ( T ) +2 тогда и только тогда, когда либо (я) Т здоровый паук или (II) T представляет собой пару раненых пауков Т 1 и T 2 , с одной ребра, соединяющего v ∈ V ( T 1 ) и ш ∈ V ( T 2 ), при соблюдении следующих условий : (1) если либо дерево является P 2 , тогда ни вершина в Р 2 соединены с головным вершины другого дерева. (2) v и ш не являются ножные вершины. 5. Графики, для которых Г R ( G ) = 2 γ ( G ) Из предложения 1 мы знаем, что для любого графа G , γ R ( G ) ⩽2 γ ( G ). Мы будем говорить, что граф G является Роман график , если γ R ( G ) = 2 & gamma ( G ). В этом разделе, мы стремимся найти характеристику римских графиков. Предложение 9 дает нам наш первый класс римских графиков, т.е. графики виде G = K 1 + Н , где γ ( G ) = 1 и γ R ( G ) = 2. Это равносильно тому, любой граф G порядка п , имеющий вершину степени п -1 является римско график. Предложение 7 идентифицирует все римские пути и циклы, т.е. P 3 к , C 3 к , Р 3 к +2 , и C 3 к +2 . Предложение 8 идентифицирует полных двудольных графов римские, т.е. K м , н , где тт { м , н } ≠ 2, и в этом случае либо γ ( G ) = 1 и γ R ( G ) = 2, или γ ( G ) = 2 и γ ​​R ( G ) = 4. Два простых характеризации римских графов заключаются в следующем. Предложение 16. Граф G является Роман, если и только если оно имеет & gamma R - функция ф = ( V 0 , V 1 , V 2 ) с п 1 = | V 1 | = 0. Доказательство. Пусть G быть Роман граф и е = ( V 0 , V 1 , V 2 ) быть γ R -функция G . Из предложения 3 (г) мы знаем, что V 2 ≻ V 0 и V 1 ∪ V 2 ≻ V , и, следовательно, Полноразмерная изображения (<1 К) Но так как G является Роман, мы знаем, что Полноразмерная изображения (<1 К) Следовательно, п 1 = | V 1 | = 0. Обратно, пусть F = ( V 0 , V 1 , V 2 ) быть γ R -функция G с п 1 = | V 1 | = 0. Поэтому, γ R ( G ) = 2 | V 2 |, а так как по определению V 1 ∪ V 2 ≻ V , следует, что V 2 является полезным набор G . Но предложения 3 (г), мы знаем, что V 2 представляет собой γ -множеством G [ V 0 ∪ V 2 ], т.е. | V 2 | = γ ( G ) и γ R ( G ) = 2 γ ( G ) , т.е. G является римско график. □ Предложение 17. Граф G является Роман если и только если γ ( G ) ⩽ γ ( G - S ) + | S | / 2, для каждого 2- упаковки S ⊆ V . Доказательство. Из следствия 1 , мы знаем, что γ R ( G ) является минимальным значением 2 Г ( G - S ) + | S |, по всем 2-упаковках S ⊂ V . Таким образом, если гамма R ( G ) = 2 γ ( G ), то 2 γ ( G - S ) + | S | ⩾ γ ( G ), или γ ( G ) ⩽ γ ( G - S ) + | S | / 2, для каждого 2-упаковочного S . И наоборот, если γ ( G ) ⩽ γ ( G - S ) + | S | / 2, для каждого 2-упаковки S , то 2 γ ( G ) ⩽ гамма ( G - S ) + | S |, для каждого 2- упаковка S . Это означает, что два γ ( G ) ⩽ γ R ( G ). Но из предложения 1 мы знаем, что γ R ( G ) ⩽ γ ( G ). Поэтому, γ R ( G ) = 2 γ ( G ). □ В заключение этого раздела отметим, что Конструктивная характеристика римских деревьев недавно было дано Henning [7] . 6. Открытые проблемы Среди многих вопросов, поднятых этого исследования, являются следующие представляют особый интерес для авторов. 1. Можете ли вы найти другие классы римских графиков? 2. Может предложения 12 и предложение 14 обобщается для получения характеристику графов, для которых Г R ( G ) = Г ( G ) + K ? 3. Можете ли вы определить римского владычества номер сетки графа G м , н , для любых натуральных т и п ? Различные значения римского владычества в графах сетки были определены Дрейер [4] В своей кандидатской Диссертацию, а границы получены в [3] . 4. Каковы алгоритмические, сложность и свойства приближения римского владычества? Например, авторы построили линейную алгоритм вычисления римского владычества количество любого дерева. Кроме того, Макрай [8] была построенные доказательства, показывающие, что проблема решение RDF, соответствующее значению римской функции доминирующей, является NP-полной, даже когда ограничено (I) CHORDAL, (б) двудольный, (III) разделение или (IV) планарные графы. Было также предложено одним из судей, что неравенства, γ ( G ) ⩽ γ R ( G ) ⩽2 γ ( G ), сразу следует, что существуетПолноразмерная изображения (<1 К) Алгоритм приближение для римскими цифрами доминация, в то время как Полноразмерная изображения (<1 К)приближённый алгоритм не существует для любого C <1, если P = NP. Алгоритмическая сложность римского господства будет предметом следующей статье [2] . 5. Можете ли вы построить полиномиальный алгоритм вычисления значения gamma; R ( G ) для любого графа интервалов G ? 6. Что вы можете сказать о минимальных и максимальных значений п 0 , п 1 и п 2 для γ R -функции F = ( V 0 , V 1 , V 2 ) графа G ? Например, предложение 4 (е) говорит, что вы всегда можете гарантировать существует γ R -функция с п 0 ⩾3 п / 7. 7. Каковы свойства независимых римских функций доминирующих? Римский функция доминирование е = ( V 0 , V 1 , V 2 ) называется независимым , если множество V 1 ∪ V 2 представляет собой независимое множество. McRae [8] также показано, что задача решения IRDF соответствующее независимых римских функций доминирующих является NP-полной, даже при ограничении на двудольных графов. Интересно, однако, отметить, что Фарбер [5] показал, что независимое множество полезным полиномиален при ограничении на аккордовых графиков. В этой связи возникает интересный вопрос о том, IRDF полиномиален для аккордов графиков. Подтверждения Эта статья была завершена в то время как доктор Cockayne посещал математический факультет, прикладной математики и астрономии в Университете Южной Африке в течение января 2000 года он также благодарит исследовательскую поддержку от канадского естественным наукам и инженерным исследовательского совета (NSERC). Авторы выражают глубокую признательность за три судьи этой работы для многих прекрасных предложений по совершенствованию и конденсации эту бумагу. Рекомендации [1] Н. Алон, JH Спенсер Вероятностный метод, Wiley, New York (1992) [2] EJ Cockayne, ПА Драйер младший, SM Hedetniemi, ST Hedetniemi, А.А. McRae, алгоритмической сложности римского владычества, который должен быть представлен. [3] EJ Cockayne, PJP Гроблер, У. Gründlingh, Дж Munganga, JH ван Вуурен, Защита графа, представленный для публикации. [4] ПА Драйер младший, Приложения и вариации господства в графах, доктор философии Диссертация, Университет Рутгерса, октябрь 2000. [5] М. Фарбер Независимый доминирование в аккордовых графов Опер. Местожительство Lett., 1 (1982), стр. 134-138 Статья | PDF (460 K) | Посмотреть запись в Scopus | | Ссылаясь статьи (48) [6] TW Хейнс, ST Hedetniemi, PJ Слейтер Основы доминирование в графах, Marcel Dekker, Нью-Йорк (1998) [7] М.А. Хеннинг Характеристика римских деревьев Обсудить. Математика Теория графов, 22 (2) (2002), стр. 325-334 Посмотреть запись в Scopus | Полный текст с помощью CrossRef | | Ссылаясь статьи (33) [8] А.А. McRae, частное сообщение, март 2000. [9] CS РЕВЕЛЛА, К.Е. Розинг Defendens Imperium Romanum: классическую задачу в военной стратегии Amer. Математика Ежемесячно, 107 (7) (2000), стр. 585-594 Посмотреть запись в Scopus | Полный текст с помощью CrossRef | | Ссылаясь статьи (66) [10] И. Стюарт Defend Римскую империю! Sci. Amer., 281 (6) (1999), стр. 136-139 Посмотреть запись в Scopus | | Ссылаясь статьи (75).

1 429 во время Столетней войны между Францией и Англией.

1643-1715 Лу, Франция получает власть по всей Европе.

Ваш комментарий

Вернитесь от Комментария назад

This is section 1

СМЕРТЬ ТИРАНА

доминировать

Из Википедии, бесплатной энциклопедии Для другого использования, см Доминирование и подчинение (значения) . Древний Рим Роман SPQR banner.svg Эта статья является частью серии на политике и правительства Древнего Рима периодов Роман Королевство 753 - 509 до н.э. Римская республика 509 - 27 г. до н.э. Римская империя 27 г. до н.э. - 476 н.э. Принципат Western Empire Доминируют Восточной империи римской конституции Конституция Королевства Конституция Республики Конституция империи Конституция позднего империи История римской конституции сенат законодательные собрания Исполнительные магистраты Обыкновенные магистраты Консул претор квестор Promagistrate Эдил Трибуна цензор губернатор Внеочередные магистраты диктатор Магистр конницы Консульский трибуны Рекс Triumviri децемвиры Званиях и степенях император Legatus вождь Officium префект Vicarius Vigintisexviri Ликтор Магистр militum император принцепс сената Понтифик Август Цезарь тетрарх Прецедент и закон римское право империя Мос maiorum Соборность Auctoritas римское гражданство Курсус honorum Senatus Consultum Senatus Consultum ultimum Агрегаты Centuriate Curiate плебей племенной Другие страны Атлас Портал значок Древний Рим портал v T е Доминирование или поздно Римская империя была " деспотическое " позже фаза правительства, после ранний период, известный как " принципата ", в древнем Римской империи . Можно считать, чтобы начать с самого начала царствования Диоклетиана в 284 после третьего века кризиса в 235-284, и до конца с распадом Западной Римской империи в 476 г., или с царствования Юстиниана I (от 527 до 565) или Ираклия (610 641). В восточной половине империи, и особенно со времени Юстиниана I , система доминировать превратилась в самодержавной абсолютизма . [ 1 ] Термин происходит от латинского Dominus , который переводит на английском языке господина или хозяина. Эта форма адреса уже используется рабов обратиться их хозяева-был использован для императоров из Юлиев-Клавдиев (первый) династия, но непоследовательно - Тиберий , в частности, как говорят, поносили его как подхалимство. Стало общим под Диоклетиана , который, следовательно, является логичным выбором в качестве первого правителя "ранее" доминировать, так как он упал ранее названия Imperator Цезаря для новых из Dominus Noster . Историк Дэвид Поттер описывает преобразование правительства при Диоклетиане при описании сдвигов в образах император используется для отображения его власть (в данном случае здание огромного нового дворца в Срема ): Стиль правительства так незабываемо описан Marcus, в результате чего император стремился показать себя в качестве модели правильного аристократической осанкой, уступили в стиле, в котором император был замечен должен быть отделен от всех других смертных. Его дом больше не мог быть грандиознее версия домов, что другие люди могут жить в: его, как и он, должен был быть по-другому. В отличие от ситуации в Принципата однако, императоров в Доминирование не может быть обожествляли, как это было, за исключением двух начальных десятилетий христианская период Римской империи. содержание [ Скрыть ] 1 Переход от принципата 1.1 Стилистические изменения 2 Ссылки 3 Внешние ссылки Переход от принципата [ редактировать ] Эта статья читается как редакционный или части мнения . Пожалуйста , помогите улучшить эту статью , переписав его в энциклопедических стиле чтобы сделать его нейтральным тоном. См WP: Нет оригинальные исследования и РГ: NOTOPINION . Для получения более подробной информации (декабря 2013) Во время принципата , то конституция римской республики никогда не была официально отменена. Было поправками таким образом, чтобы поддерживать фасад республиканского правительства . Вообще говоря, императоры принципата эмулировать Августом в его фантастики республиканского правительства, концентрируясь различные гражданские и военные должности на одного человека в то время, тем не менее прячется автократические коннотации за учреждений старой Республики, таких как сохранение Сената и годового парного консульство , Это закончилось после кризиса третьего века (235-284), во время правления императора Диоклетиана . Диоклетиан отказался от выступления Республики ради контроля. Он ввел новую систему совместного правления с четырех монархов , известных как Тетрархии . Оно состояло из двух сопредседателей императоров ( AUGUSTI ) и двух соответственно подчиненных младших императоров ( Caesars ). Стилистические изменения [ править ] Диоклетиан и его коллеги AUGUSTI и преемники открыто отображаться голую лицо императорской власти. Они отказались от использования более скромную звание принцепса ; они приняли почитание властителей древнего Египта и Персии ; и они начали носить драгоценные одежды и обуви в отличие от простого тогу претекста используемой императоров принципата. Императоры заселена роскошные дворцы (руины огромного дворца Диоклетиана в Далмации сохранились и по сей день; см Дворец Диоклетиана ) и были окружены судом лиц, которые, только за счет пользу и близости к императору, достиг высшей почетные титулы и бюрократическая функции. На самом деле, во многих офисах, связанные с жизнью небных и что предложил интимные отношения с роялти в конечном итоге развитых коннотации власти, таких как офисы Чемберлена и Констебла . Названия сенатора и консула , после потери каждом остатке политической власти они имели в Принципата, стал простые почтительные в позднем империи. Принятие Dominus как формальный титул отражал божественный статус ( Divus ), который пришел, чтобы быть прерогативой императорской положении. Первоначально исключительным чести удостаивались Сенатом к императору посмертно, высота выпала с ожидаемым конвенции для еще живых цезарей. Чтобы разубедить мятежи и узурпации на кризис третьего века , императоры стремились вид божественной легитимности , вызываемой восточных монархий . Императоры импортированы ритуалы, такие как колени перед императором, и целуя из подола Императорского халат ( проскинеза ). Даже некоторые христианские императоры, такие как Константин , почитались после смерти. В Восточной Римской империи после 476 г., симбиотические отношения между императорской короны в Константинополе и Православной Церкви привело к отличительным характером средневекового римского государства. Анастасий я был последним императором, как известно, посвящен как Divus после его смерти (518 ОБЪЯВЛЕНИЕ). Название, кажется, был впоследствии отказались от оснований его духовного неприличия. См императорского культа (Древний Рим) . Последний правитель использовать названия Dominus Noster был Юстиниан I (умер 565), уступая место названии Basileus ( "King"). Другим ярким симптомом модернизации имперского статуса стало понятие императора в качестве воплощения величия Рима; Таким образом, Lesė величества стал измена. [ править ] Ссылки [ править ] Перейти вверх ^ Goldsworthy, Адриан Кейт (2009). "Вывод: простой ответ". Как Рим пал: смерть сверхдержавы . Нью-Хейвен, штат Коннектикут .: Yale University Press. стр. 405-415. ISBN 0-300-13719-2 . OCLC 262432329 . Источник 28 июля 2011 . Внешние ссылки [ редактировать ] [ Показать ] v T е Древний Рим темы Категории :Поздняя античностьПравительство Римской империиТретий века в Римской империи4-ое столетие в Римской империи5-й век в Римской империи

This is section 3

This is section 4

Комментируйте страницу

Римское Владычество, синтаксис:
<">

Список всех Римское Владычество-тегов.