Существует
пятое измерение за пределами того, что известно человеку. В 1960-е годы глубокий голос Рода Серлинга произнес эту знакомую мантру, чтобы представить свой популярный сериал,
Сумеречная зона. Жуткое заявление Серлинга было явно приглашением войти в мир странного. Но математикам, путешествие к
высшее измерение примерно так же обыденно, как поездка по городу на такси. Они обычно путешествуют не только в пятое измерение, но и в седьмое, десятое,
и двадцать шестой. В этом нет ничего особенного, говорит Альберт Марден, директор Центра геометрии в Миннеаполисе. Для математика это ’
повседневное событие.
Почему математики хотят оставить комфорт нашего знакомого трехмерного мира? Потому что, любопытно, тыкая их
Направляясь в более высокие измерения, они могут получить более четкое представление о сложных проблемах - они могут видеть отношения, которые выглядят безнадежно запутанными в раздавленном
и компактная вселенная более низких измерений. Точно так же астрофизики входят в более высокие измерения, чтобы видеть образцы в звездных скоплениях; физики частиц смотреть
для единых теорий; инженеры для анализа механических связей; и специалисты по коммуникациям, чтобы найти способы упаковки информации в ограниченном пространстве.
Нет ничего лучше, чем прыгнуть в более высокое измерение, чтобы облегчить сложную проблему. Если это звучит нелогично, просто подумайте о том, что
переход в более высокое измерение действительно означает. Скажем, вы ’ живете по одномерной линии. Вы можете двигаться вперед или назад, как поезд на своем пути. Но
Вы не можете ’ боком двигаться. Это ’ не только вне границ, это ’ вне вашей вселенной. Теперь представьте, что ваша вселенная внезапно распространилась на две части.
размеры. Вы можете свободно перемещаться по всей поверхности: восток, запад, север, юг или любое направление между ними. Или, еще лучше, представьте, что вы ’
персонаж фильма, живущий своей жизнью на двухмерном экране. Добавьте третье измерение, и вдруг вы сможете выйти в аудиторию. Вы можете просто уйти
из этого боевика, собирающегося застрелить тебя. Благодаря этому дополнительному измерению у вас появилась новая свобода передвижения.
Для математика измерение просто
это: степень свободы. Например, возьмите завязанный кусок веревки. Пока вы остаетесь в трех измерениях, вы ... застряли, говорит Сильвен Кэппелл,
Ассоциированный директор Нью-Йоркского университета ’ с Институтом математических наук Куранта. Вы не можете ’ не отвязывать это. Но если бы вы могли поскользнуться немного
Проведите через другое измерение, вы можете обойти препятствие и решить его. Независимо от того, как выглядит узел, вы можете перейти в более высокое измерение и
реши это. Кеппелл должен знать. Среди прочего он изучает свойства восьмимерных узлов в десятимерном пространстве.
Самый простой способ
думать о измерении как о переменной, то есть как о количестве, которое может иметь любое из множества различных значений. Это может представлять широту или долготу,
время или скорость, яблоки или апельсины, частицы или звезды. Вы можете описать погодные условия, указав значения температуры, влажности, скорости ветра,
осадки и тд. Если вам нужно 12 переменных для описания ситуации, у вас есть 12-мерная проблема.
Но только переменные
не ’ сложить с геометрией. Как отмечает Уильям Терстон, директор Научно-исследовательского института математических наук (MSRI) в Беркли, Калифорния, имея три
Переменные это не то же самое, что наличие трехмерного пространства. И для понимания сложных отношений форма пространства часто так же важна, как
количество измерений, которые он занимает. Возьмем стандартные двумерные отношения - скажем, график, отражающий интерес к потребительским расходам. Ни один не имеет
все, что связано с геометрией, но вы можете лучше понять ситуацию, взглянув на форму линии. Вы можете легко увидеть, где это пики или основания
вне. Вы можете увидеть наклон кривой.
То же самое относится и к пяти- или даже десятимерным моделям. Логически может показаться, что геометрия
потерял, что это просто цифры, говорит Кеппелл. Но геометрия может сказать вам то, что одни цифры не могут ’ т: как кривая достигает максимума, как
Вы получаете оттуда сюда. Вы можете увидеть холмы и долины, крутые повороты и плавные переходы; отверстия в форме пончика в форме девяти могут указывать
сферы, где нет решений.
Формировать изображения этих сложных объектов проще всего, если задуматься о добавлении одного измерения за раз, каждый
распространяясь в космос в другом направлении. Начните с точки. Протяните точку вдоль одного измерения, и вы получите линию, ограниченную двумя точками. Тянуть
линия в перпендикулярном направлении, и вы выметаете квадрат, область, ограниченную четырьмя линиями. Чтобы получить куб, взорвать квадрат в следующий
измерение, и вы получите твердую фигуру, ограниченную шестью квадратами. Чтобы получить четырехмерный куб или гиперкуб, просто сдуйте кубик в еще один
размерность: у вас ’ будет объект, границы которого - восемь кубов. Точно так же вы можете вращать двухмерный диск вокруг в третьем измерении и получить
сфера. Вы можете вращать сферу в четвертом измерении и получить гиперсферу.
В этом смысле добавление нового измерения является своего рода
разворачивается, объясняет Адам Франк, астрофизик из Университета Миннесоты, который работает с шестимерными пространствами и смотрит на шаровые скопления
анализируя геометрию 60000-мерных сигар. «Ты сунешь голову туда, и весь ландшафт изменится», - говорит он. Это невероятно, как все
эти сложные движения могут сводиться, скажем, к простому 67-мерному пончику. Это великолепно!
Естественно, конечно, вы хотите спросить: но
где эти другие измерения? Или, для начала, где наш ближайший сосед, четвертое измерение? Ответ прост: это ’ с
перпендикулярно всем другим измерениям, так же, как измерение, которое мы называем высотой, перпендикулярно тому, что мы называем длиной. Воспринимая это другое измерение,
к сожалению, не все так просто. Но это тоже не невозможно.
Билл Терстон известен как минимум среди его коллег как
мир ’ величайший живой геометр. В возрасте 36 лет он выиграл Полевую медаль, математический эквивалент Нобелевской премии. В эти дни Терстон пытается
превратить MSRI, который ласково известен как несчастье в этой области, в более эффективный коммуникатор удовольствий математики для внешнего мира.
С этой целью он начал произносить вместо этого аббревиатуру.
Терстон выглядит просто как большой ребенок, который любит
поиграть с формами. Как и в классе в детском саду, в его офисе есть маленький круглый стол, накрытый маленькими пластиковыми треугольниками и пятиугольниками.
основные цвета. Однако то, что Терстон делает с ними, совсем не элементарно. Он соединяет четыре треугольника вместе, чтобы сформировать тетраэдр; Затем он устраивает
пять тетраэдров вокруг общего центра, как букет, указывая, как они почти - но не совсем - плотно прилегают друг к другу. Этот маленький угол остался, он
говорит, этого достаточно в просторном мире четырех измерений, чтобы упаковать 600 таких тетраэдров в гиперсферу.
Возможно, его любимая игрушка
мягкий тор с тремя отверстиями или пончик, выполненный из 24 односторонних кусочков ткани - своего рода извилистая муфта с местом для большого количества рук, чтобы присоединиться
середина. Его мать, 75-летняя Маргарет Терстон, сшила ее прошлым летом, когда посещала его курс геометрии и воображения в Центре геометрии.
в Миннеаполисе - курс, в котором приняли участие 50 студентов - от школьников до профессоров колледжей. Шаблон для сложной фигуры был создан
его два сына. Это было нелегко. среди геометров форма известна, почти мифологических размеров. Мало кто был построен раньше.
Это то, чего я давно хотел увидеть, говорит он.
Терстон считает, что наши трудности с восприятием выше
измерения в первую очередь психологичны, так как в конечном итоге они связаны с разделением ума… взглядом между линейным, аналитическим мышлением,
и геометрическая визуализация форм. Много математики делается с использованием привычного способа мышления, к которому мы обращаемся для чтения, письма и разговорной речи.
Например, алгебраические уравнения похожи на предложения. Формула, которая дает вам площадь для куба, x ¥ x ¥ x, может быть легко передана словами. Но
Форма куба - другое дело. Вы должны это увидеть.
Терстон говорит, что когда мы говорим о многомерных пространствах, мы учимся
подумайте и подключитесь к этой другой системе пространственной обработки. Ходить туда-сюда сложно, потому что в нем задействованы две действительно чужие части мозга.
У нас нет хорошего способа передачи этой пространственной информации. Проблема не в содержании математики; это ’ с как
думаю об этом.
Сэр Артур Эддингтон осознал эту проблему еще в 1920-х годах, когда широко писал, пытаясь объяснить Эйнштейна.
Четырехмерное пространство-время для популярной аудитории. Он предупредил читателей, чтобы они не слушали голос внутри них, который шептал: в глубине души вы знаете,
что четвертое измерение - это чепуха. Эддингтон напомнил своим читателям, что бессмыслица, которую мы обычно принимаем как должное, включает в себя твердые таблицы, которые
на самом деле в основном пустое пространство и прозрачный воздух, который давит на нас с силой почти 15 фунтов на квадратный дюйм.
Хотя некоторые люди, которые работают
в более высоких измерениях выберите просто игнорировать вопрос о том, что или где на самом деле находятся дополнительные измерения (в конце концов вы перестаете пытаться визуализировать это, говорит
Фрэнк. Это ... когда рев уходит из ваших ушей), другие, такие как Терстон, очень усердно работают над преодолением здравого смысла. Он ’ присоединился
в этих усилиях его коллеги в Центре геометрии - официально называется Национальный научно-технический исследовательский центр вычислений и
Визуализация геометрических структур. Здесь Марден принимает десятки студентов и посетителей, от профессоров до учеников колледжа, которые приезжают, чтобы исследовать
царства многомерных реальностей с использованием мощных компьютеров. Хотя, конечно, можно описать любое многомерное пространство.
Алгебраически, объясняет он, вы узнаете намного больше, фактически увидев это. Это так же, как в трех измерениях. Если вы видите что-то, вы можете попытаться увидеть
какие свойства он может иметь. Это вызывает вопросы. Если вы никогда не видели дерево, вы не сможете задавать вопросы об этом.
Один из способов просмотра объектов более высокого размера - это разрезать их. Точно так же, как вы можете разрезать трехмерный кусок сыра на двухмерные кусочки, так
Вы можете разрезать четырехмерный блок на трехмерные кусочки. Дейрон Мейер, старший в университете Висконсина в Мэдисоне и ученик в
Центр, запрограммировал в своем компьютере впечатляющий набор инструментов для исследования четырехмерных пространств, используя программное обеспечение, разработанное в центре. 4-D объект
существует там как виртуальный объект, объясняет он. Вы можете указать любую геометрию, которую хотите. Затем вы просто подключаете координаты в четырех измерениях. Meyer
проецирует трехмерные тени четырехмерных объектов на экран своего компьютера; берет двухмерные кусочки трехмерных узлов, связанных в
четырехмерное пространство; и вращая гиперкуб, тем лучше осматривать его восемь граней (которые, конечно же, кубы). Как вы исследуете внутреннее
структура гиперкуба, вы чувствуете, как будто вы ’ летите через пространство, изменяя масштаб изображения прямо сквозь стены в тонкие камеры, которые появляются и испаряются как
призраки.
Чувство - это точное восприятие реальности. В конце концов, четырехмерная перспектива позволяет пролететь мимо, над или
вокруг любого твердого барьера в трех измерениях. Существо из четвертого измерения может проникнуть в вас и буквально пощекотать ваши ребра! Не зря философ
Генри Мор предположил еще в семнадцатом веке, что духи были существами четвертого измерения.
Более приземленные мыслители нашли
Пространства с большими измерениями должны быть удивительно полезны для понимания недуховного мира. Эйнштейн ’ Общая теория относительности, для
Например, описывает силу тяжести в результате перекосов в четырехмерном пространстве-времени, создаваемых присутствием массивных объектов. Теория более
чем просто другой способ изобразить гравитацию: для расчета эффектов гравитации вблизи очень массивных объектов, он дает результаты значительно
отличается от тех, которые могут быть получены из одной лишь концепции гравитации Ньютона. Например, только теория относительности производит такую экзотику как черный
отверстия. Вслед за Эйнштейном физик Теодор Калуза в 1921 году предположил, что силу электромагнетизма можно также понимать как эффект
геометрия - покачивание в ткани четырехмерного пространства-времени, производимого нарушения в невидимом пятом измерении.
На самом деле, геометры имеют
долго стояли на очень хорошем месте у тех, кто изучал реальные свойства физического мира. Еще в девятнадцатом веке, лорд Кельвин, который принес нам современное
На термодинамику произвело впечатление сходство свойств узлов и свойств частиц. Узлы являются классической проблемой в топологии, которая
это вид плавной и гибкой геометрии. Там, где геометрия - это жесткие линии, углы и области, топология - это отверстия, точки пересечения, спутанность и
так далее. Постоянная шутка среди математиков определяет тополога как человека, который не знает разницы между пончиком и кофейной чашкой.
Топологически они эквивалентны, потому что пончик из шпатлевки можно растянуть и скрутить в чашку одной ручкой, не разрывая и не ломая
поверхность. Точно так же изучаются узлы в зависимости от того, можете ли вы преобразовать одно в другое, или сколько дыр они прорезают в пространстве, или как вы можете пройти
одно место на узле к другому, не пересекая линию или поверхность.
Лорд Кельвин предположил, что атомы являются узлами в светоносном эфире,
Сущность, в которую люди верили, пронизывала все пространство. Одной из причин, по которой Кельвину понравилась эта идея, было то, что узлы, подобно атомам, можно разделить на семейства, чьи
Участники разделяли определенные характеристики. Кроме того, было много видов узлов, которые можно сделать из одного и того же куска нити, и, вероятно, много видов
атомы, которые можно образовать из разных видов узлов в эфире. Наконец, рассмотрение природы с этой запутанной перспективы позволило Кельвину уменьшить материю и
заставляет одно и то же вещество - эфир. Конечно, Кельвин оказался неправ, но его идеи оказали огромное влияние на математиков, которые начали принимать
свойства узлов очень серьезно.
В последние годы узлы и топология стали центральными в теориях, которые пытаются найти общий язык
между гравитацией (которая описывается геометрией искривленного пространства или общей теории относительности) и другими силами (такими как электромагнетизм), которые описываются
квантовая механика. Например, идея о том, что пространство - это, по сути, переплетение незаметно маленьких петель, соединенных вместе, как средневековая кольчуга (см. DISCOVER,
Апрель 1993) был впервые сформулирован, когда физики заметили поразительное сходство между уравнениями, которые описывают узлы, и некоторыми уравнениями, которые
описать частицы в гравитационных полях.
Аналогично, теория струн описывает все частицы и силы как петли некоторых фундаментальных вещей, которые
вибрирует в гармонических моделях, которые порождают все от гравитации до бегоний. Теория струн работает только в 10 или 26 измерениях, что сделало много
физики неохотно преследуют это. Однако существование дополнительных измерений не делает теорию струн по своей природе более сложной, чем другие теории.
Фактически, весь смысл дополнительных измерений состоит в том, что они упрощают некоторые отношения: если теория струн работает, все частицы и силы должны
быть описанным с точки зрения топологических свойств дополнительных, невидимых измерений.
Еще один способ сказать, что для сложных проблем,
более высокие измерения окупаются с точки зрения большей симметрии - наличия большего количества способов, которыми что-то может измениться и при этом остаться прежним. Возьми сферу - скажем,
идеально равномерный пляжный мяч. Вы можете повернуть его на полпути, и он будет выглядеть точно так же. Вы можете повернуть его на четверть оборота, или на шестнадцатый, или на тысячный, или
миллионная и все равно выглядит точно так же. Вы можете вращать его вокруг любой оси, на любую степень, и он никогда не изменится. Это почти идеальная симметрия.
Но, скажем, спасатель приходит, спотыкается и падает на мяч, раздавив его в двухмерный блин. Если вы посмотрите на блин сверху, он все еще
смотрит вокруг Но со стороны это выглядит как линия. Находящийся под разными углами, он принимает форму постоянно меняющихся эллипсов. Симметрия, которая так идеально
сохраненный в более высоком измерении безвозвратно сломан, как сказал бы физик, в более низком.
Тот же процесс справедлив для любого
объект, в любом измерении. Например, квадрат может сидеть на любом из его четырех краев. Это делает четыре симметрии. Куб может сидеть на любой из шести квадратных граней,
и каждая квадратная грань может вращаться любым из четырех способов. Это ’ шесть раз четыре или 24 симметрии. Четырехмерный куб может сидеть на любой из восьми
кубические грани, и каждая кубическая грань может быть ориентирована любым из 24 способов. Это ’ восемь раз по 24 или 192 симметрии. Пятимерный куб может быть установлен
вниз и повернут, чтобы он выглядел одинаково в 1920 ориентациях.
Если вы вывернете что-то наизнанку, и оно останется прежним, то ’
другой вид симметрии, чтобы добавить к остальным. Или если вы перемещаете что-то в пространстве (скажем, на четыре дюйма вправо) или во времени (посмотрите на это через два часа), и это
остается тем же, что ’ с другой симметрией. Вы можете иметь симметрию между силами или симметрию масштаба. Если что-то становится больше или сильнее, и все его
другие свойства остаются прежними, это ’ еще один вид симметрии. Более высокие размеры почти всегда означают больше симметрий.
Физики любят
симметрия, потому что это означает, что даже вещи, которые кажутся радикально разными, могут оказаться в основном одинаковыми. И тем более очевидно разные вещи
(скажем, электричество и магнетизм) оказываются разными аспектами одного и того же (электромагнетизм), тем легче объяснить физическую вселенную в
условия нескольких простых законов. Если теория струн сработает, то это будет отчасти потому, что симметрии, присущие многомерной гравитации, позволяют физикам получить
все известные силы и частицы из одного и того же первичного материала.
Эти симметрии не должны возникать даже в физическом пространстве. физический
Сильвен Кэппелл говорит, что пространство - это всего лишь один вид пространства, который оказывается особенно интересным и полезным. Недавно он ’ s опубликовал метод
выяснение количества возможных решений сложных задач на основе геометрии многомерных пространств. Но пространство, в котором он работает, не такое
геометрии вы можете легко положить палец.
В некотором смысле, Кэппелл выглядит как превосходный математик. Он носит берет. Он делает больше всего
его работы, потягивая капучино в Cafe Violet в Гринвич-Виллидж, напротив Института Куранта - обычно со своим давним сотрудником Джулиусом
Шейнсон из Университета Пенсильвании. Ему нравится шутить, что математик - это просто машина для превращения кофе в теоремы.
В
в то же время он говорит с обезоруживающей искренностью о том, что математика требует, чтобы вы чувствовали себя глупо - снова и снова. На самом деле, это его объяснение
почему самая блестящая математика делается молодыми. Когда вы начинаете новую проблему, вы всегда чувствуете себя глупо, объясняет он. Вы можете провести целый день на
одна бумага, час на одной строке. И ты все еще не понимаешь ’ Когда вы попадаете на определенную жизненную позицию, вы не хотите чувствовать
глупо больше. В математике это ’ когда ты ’ умрешь.
Кеппелл уже давно практикует искусство полезной глупости.
Он также очень заинтересован в том, чтобы понять математику и найти способы сделать ее полезной. Cappell и Shaneson ’ последнее изобретение так
полезно это может быть запатентовано.
Это работает так: предположим, у вас есть проблема, связанная с большим количеством переменных и множеством возможных
решения. Например, скажем, у вас есть до 15 кораблей, которые могут перевозить до 300 баррелей нефти в до 25 портов на 100 возможных маршрутах и в течение
365 дней в году при стоимости до 1000 долларов каждый для 20 моряков на судно, и вы хотите знать, какие варианты позволят вам работать
с максимальной эффективностью. Чтобы вычислить даже количество возможных решений, просто подсчитав, потребуется почти навсегда из-за того, как каждый
Переменная связана со следующим. (Если вы отправляетесь в дальние поездки в дальние порты, вы не сможете совершать столько поездок в год.) Но если вы определите объем
На семимерной фигуре, основанной на этих семи переменных, вы сразу узнаете количество возможных решений - потому что каждая точка вписывается в объем
указывает место, где пересекаются все переменные (то есть решение).
Конечно, это не так просто. Громкость
не дает правильного ответа, потому что края и углы все портят. Вообразите pegboard. Скажем, вы рисуете на нем многогранную фигуру. если ты
спросите, сколько отверстий для колышков охватывает форма, ответ не ясен. Некоторые линии прорезают небольшую часть отверстия, а другие - девять.
десятые; Углы вынимают куски разных размеров. Так как у многомерных фигур, как правило, много краев и углов, проблема становится более
сложный. Но Кэппелл и Шенесон недавно разработали способ учета краевых эффектов. Они надеются в ближайшем будущем сделать метод еще более
полезно. Они надеются сделать возможным найти только те решения, которые удовлетворяют определенному ограничению - например, которые производят определенную прибыль, где прибыль
является результатом всех других переменных вместе взятых.
Превращение числовых задач в геометрические проблемы также показательно при рассмотрении
сложные движения физических систем - таких как звезды и атомы. Адам Франк из Университета Миннесоты выполняет большую часть своей работы в суперкомпьютерном центре, просто
через дорогу от центра геометрии. Соединение подходит. Фрэнк и его коллеги работают с геометрией того, что называется фазовым пространством. фаза
пространство не является физическим пространством. Это ’ способ взглянуть на форму динамических систем с большим количеством движущихся частей.
Возьмите частицу - скажем, молекулу воздуха, плавающую в комнате. Он может двигаться в трех физических измерениях. Но он также имеет определенную скорость в каждом измерении. Это
Оказывается, что если вы представляете частицу в шестимерном фазовом пространстве, которая одновременно учитывает ее скорость и положение, ее
движение выглядит намного проще. Конечно, если у вас есть более одной частицы, у вас есть более шести измерений. Две молекулы воздуха будут иметь в общей сложности 12
размеры в фазовом пространстве. Четыре молекулы воздуха имели бы 24. Поскольку фазовое пространство обычно используется для определения динамики газов и звездных систем, что
обычно содержат много тысяч частиц - размеры складываются быстро.
Если вы посмотрите на движения в обычном пространстве, они будут
очень сложно - они продолжат складываться, объясняет Фрэнк. Но в фазовом пространстве они разворачиваются. У вас больше нет движения во времени. Целый
движение встроено в него. Если бы вам пришлось сидеть и наблюдать за частицей и следить за ее движениями в пространстве, вам ’ пришлось бы ждать вечно. Но в фазовом пространстве вы просто
посмотри на форму. Это ’ объект, который имеет значение. И вся динамика встроена в топологию объекта.
Расчет движений
например, 10000 звезд в фазовом пространстве могут заполнить объект, как простой тор. Форма тора говорит о многом: звездная система
стабильный? Сколько энергии у него есть? Как это будет развиваться со временем?
То, как формы могут пролить свет на динамику системы, несколько
легче понять, если вы думаете с точки зрения простых механических связей. Терстон начинает с примера с велосипедной педалью. Рычаг, который толкает колеса
вокруг может раскачиваться по кругу. Это называется пространством конфигурации. Маленькая педаль, прикрепленная к рычагу - та, на которую вы положили ногу - также
качает полный круг. Круг кругов - это тор. Таким образом, пространство конфигурации системы является тором.
Пространства конфигурации других видов
движения могут складываться в сферы или эллипсы или другие простые формы, которые можно легко анализировать на динамические свойства. Чем больше путей могут двигаться,
тем больше у них степеней свободы. Таким образом, тор или сфера, с которой вы в конечном итоге окажетесь, может быть не простой трехмерной формой, а шестимерным тором или
50-мерный. Вы хотите знать, что происходит, когда все движется, объясняет Терстон. Математики много знают о геометрии этих вещей. За
Например, оказывается, что динамика сферы или тора может быть предсказуемой в течение очень долгого времени. Но тор с двумя отверстиями должен быть хаотичным. Имеет высокий
энтропия, или склонность к беспорядку. Так что это принципиальное различие.
И, как указывает Кэппелл, вы даже можете многому научиться, посмотрев
по количеству отверстий. Представьте себе набор отношений, которые заполняют сферу (так же, как график роста и веса может заполнить двумерный
форма). На сфере у вас есть только одна самая высокая точка и одна самая низкая точка. Но скажем, у вас есть тор, и вы встаете его дыбом: теперь у вас все еще есть два
критические точки сверху и снизу, но у вас также есть две седловые точки: одна в нижней части отверстия и другая в верхней части, всего четыре
критические точки. Знание этих критических точек может быть очень важным, объясняет Кеппелл, потому что многие системы стремятся к этим точкам, стабилизируются
там. Скажем, у вас есть пространство, которое описывает все возможные положения чего-либо и все возможные количества энергии. Это говорит вам, как это будет развиваться. <бр
/>
То, что показывают все эти максимумы и минимумы, не относится к делу. Это могут быть числа яблок, или уровни энергии, или силы сил.
метод работает одинаково хорошо, несмотря ни на что. Или, как сказал покойный Ричард Фейнман: «Слава математики в том, что нам не нужно говорить то, о чем мы говорим».
о (акцент его).
Любопытно, что очень важно то, в каком измерении вы ’ работаете. Потому что размеры, оказывается,
иметь личностей, которые не зависят от того, являются ли они ’ измерениями проблемы или физического пространства. Например, получается, что измерение семь
имеет свойства, очень способствующие выполнению определенных видов исчисления. Размер восемь оказывается отличным для упаковки сфер - как упаковка апельсинов в
коробка. В то время как немногие бакалейщики работают в восьми измерениях, многие люди, которые работают в современных коммуникациях, работают. Восемь измерений - это то, что вам нужно для эффективного
упаковка кодированной информации, передаваемой компьютерными модемами, - благо для компаний, которые часто перемешивают информацию, таких как банки и авиакомпании.
Поиск правильного измерения был особенно важен для теоретиков струн, потому что теория должна работать в соответствии с общей теорией относительности (
мир большой, управляемый гравитацией) и квантовая теория (мир субатомных частиц). Прежде всего, это означает, что измерение, чтобы быть правым, должно продемонстрировать
одинаковые симметрии в обоих мирах. Я не думаю, что ’ я думаю, что есть хорошая физическая интуиция того, почему должно быть десять, говорит Дэн Фрид,
математик из Техасского университета в Остине, который в настоящее время работает в Центре геометрии. Когда я был аспирантом, было 11; потом дошло до 26.
Бог знает, куда это идет дальше. Если в этом есть физический принцип, необходимо иметь правильную симметрию.
По словам Клиффорда Таубса из Гарварда, проблема нахождения правильного измерения для теории струн также связана с нахождением измерения для пространства-времени.
это произведет правильное количество сил и частиц. Один из способов представить соответствие между размерами и частицами в терминах пространства-времени.
это ’ в форме кренделя с отверстиями. Количество дырок говорит вам о низкоэнергетических состояниях. И это говорит вам о количестве частиц. Вы можете ’ т
слишком много дырок или у вас ’ будет больше частиц, чем мы можем видеть. То, как отверстия соединяются вместе, аналогично тому, как силы связывают частицы вместе.
(Конечно, мы бы не восприняли эту прецелильную форму больше, чем мы обычно воспринимаем искривленную поверхность Земли.)
Физики и
математики увлекаются этими проблемами по разным причинам. Математика - это исследование всех возможных вселенных, говорит Таубс. Физика
исследование вселенной. Это делает много людей, которые работают по математике физики.
Даже те из нас, кто научился принимать
физическая реальность пространства-времени в виде четырехмерного резинового мата может быть затруднена следованием математиков в их особую сумеречную зону, где
запутанность многомерных пространств, кажется, никогда полностью не распутывается. Например, они могут привести нас к рассмотрению: если наше пространство-время
четырехмерный резиновый коврик, тогда в каком месте он находится? Для математиков может быть большая разница между размерностью
объект и размерность евклидова пространства, которое он занимает. Например, персонаж комикса - это двумерное существо, встроенное в
двумерное пространство, но полый шар - это двумерная поверхность, которая должна находиться в трехмерном пространстве. Есть даже двумерные поверхности
это может существовать только в четырехмерном пространстве.
На самом деле, по словам Кэппелла, существует так много видов многомерных пространств, что некоторые люди
собирать их как бабочки. И Кэппелл любит их всех. Спросите его, есть ли у него любимое измерение, и он выглядит почти в ужасе:
У меня есть любимый ребенок! Он размышляет: вы знаете, время от времени кто-то пытается вручить вам коробку и говорит: ‘Это все геометрия ’. И это выглядит
так мило и опрятно, что вы ’ испытываете желание поверить в это. Но потом ты видишь, что ’ что-то сочится из сторон. Ну, мы ’ всегда
сосредоточиться на том, что ’ сочится с боков.
Условия
✳✳✳
.