: В ЭПОХУ?

как?

1 порядковых функций полезности, то есть фиксированный профиль предпочтений. Однопрофильная Стрела теоремы установили, что плохие результаты (диктатура или нелогичность социальных предпочтений, или в более общем плане невозможность агрегирования) может быть доказана одним фиксированным предпочтением профиль (или набор порядковых функций полезности) при условии, что профиль достаточно «разнообразен». Эта статья преследует две цели. Первый - предоставить два коротких и прозрачных однопрофильные теоремы Эрроу. Наши теоремы не только краткие и простые, но и не требуют наличия большого количества альтернатив. Наша вторая цель - исследуйте значение разнообразия профилей предпочтений. Наша первая невозможность Arrow Теорема, которую чрезвычайно легко доказать, предполагает, что есть только два человека в общество. Доказательство основывается на предположении нейтральности и нашей первой версии предпочтений. разнообразие, которое мы называем простым разнообразием. В нашей второй теореме о невозможности Эрроу что близко к версии Поллака (1979), есть два или более человека. Для этой версии мы усиливаем нейтралитет до нейтральности / монотонности, и мы используем второй, более сильный версия разнообразия предпочтений. Другая недавняя связанная литература включает Geanakoplos (2005), у которого есть три очень элегантные доказательства теоремы Эрроу в стандартном многопрофильном контексте, а Убеда (2004), у которого есть еще одно элегантное многопрофильное доказательство. Эти доказательства, хотя и краткие, математически намного сложнее, чем у нас. Убеда также подчеркивает важность (многопрофильного) нейтралитета, похожего на предположение, которое мы используется в этой статье и намного сильнее, чем предположение Эрроу о независимости, и он предоставляет несколько теорем, устанавливающих эквивалентность нейтралитета другим интуитивно привлекательные принципы. У Рени (2001) есть интересная пара параллельных (многопрофильных) доказательства теоремы Эрроу и связанной с ней теоремы Гиббарда и Саттертуэйта. 2 2. Модель. Мы предполагаем общество с n ≥ 2 людьми и 3 или более альтернативами. Спецификация предпочтений всех людей называется профилем предпочтений. В нашем теоремы существует только один профиль предпочтения. Профиль предпочтений трансформируется в отношение социальных предпочтений. И индивидуальные отношения, и отношения социальных предпочтений позволяют равнодушие. Предполагается, что все отношения индивидуальных предпочтений полны и переходный. Используются следующие обозначения: общие альтернативы: x, y, z, w и т. Д. Конкретные альтернативы: a, b, c, d и т. Д. Обычное лицо обозначается i, j, k и так далее; а конкретный человек - 1, 2, 3 и так далее. Отношение предпочтений человека i - это Ri. xRiy означает человек i предпочитает x перед y или безразличен к ним; xPiy означает, что я предпочитаю x вместо y; xIiy означает, что я безразличен между ними. Отношение предпочтений общества - R. xRy означает общество предпочитает x перед y или безразлично к ним; xPy означает, что общество предпочитает x вместо y; xIy означает, что общество между ними безразлично. Начнем со следующих предположений: (1) Полные и переходные социальные предпочтения. Отношение социальных предпочтений R полный и транзитивный. (2.a) Слабый принцип Парето. Для всех x и y, если xPiy для всех i, то xPy. (2.b) Сильный принцип Парето. Для всех x и y, если xRiy для всех i, и xPiy для некоторых i, затем xPy. (3.a) Нейтралитет. Предположим, что индивидуальные предпочтения в отношении w и z идентичны индивидуальные предпочтения для x по сравнению с y. Тогда социальное предпочтение w по сравнению с z должно быть идентично социальному предпочтению x по сравнению с y. Более формально: для всех x, y, z и w 3 Предположим, что для всех i xPiy тогда и только тогда, когда wPiz, и zPiw тогда и только тогда, когда yPix. потом wRz тогда и только тогда, когда xRy, и zRw тогда и только тогда, когда yRx. (4) Нет диктатора. Нет диктатора. Индивид i является диктатором, если для всех x и y xPiy подразумевает xPy. (5.a) Простое разнообразие. Существует тройка альтернатив x, y, z такая, что xPiy для всех i, но мнения разделились по поводу x и z и y против z. То есть некоторые люди предпочитают x вместо z, и некоторые люди предпочитают z вместо x, и, аналогично, некоторые люди предпочитают y вместо z, а некоторые люди предпочитают z вместо y. Обратите внимание, что здесь у нас есть две альтернативные версии принципа Парето. Первый (слабый Парето) чаще встречается в литературе по теореме Эрроу (например, см. Кэмпбелл и Келли (2002), стр. 42). Мы будем использовать сильный принцип Парето в нашей невозможности n = 2 теорема ниже, и слабый принцип Парето в нашей теореме невозможности. Нейтральность, допущение 3.a и простое разнообразие, допущение 5.a, пронумерованы так. потому что мы представим альтернативы позже. п ≥ 2 Также обратите внимание, что предположение об отсутствии диктатора отличается в мире с одним профиль предпочтений от того, какой он есть в многопрофильном мире. Например, в однопрофильном мире, если все люди имеют одинаковые предпочтения и если Парето придерживается (слабый или сильный), то каждый по определению является диктатором. Или, если индивид i безразличен среди все альтернативы, он по определению диктатор. Мы обсудим эту возможность безобидная диктатура в разделе 9 ниже. 4 3. Некоторые примеры в модели из двух человек. Проиллюстрируем это несколькими простыми примерами. Для них 2 человека и 3 альтернативы, и мы не предполагаем индивидуального безразличия между любой парой альтернатив. Учитывая, что мы не допускаем индивидуального безразличия, два принципа Парето рушатся. в один. Предпочтения двух человек показаны путем перечисления альтернатив сверху (большинство предпочтительно) вниз (наименее предпочтительно). В наших примерах последний столбец таблицы показывает, что предполагается о предпочтениях общества. Комментарий под каждым пример указывает, какое желаемое свойство выходит из строя. Смысл этих примеров состоит в том, что если мы готовы отбросить одно из наших 5 основных предположений, оставшиеся 4 могут быть взаимно согласованными. Человек 1 Человек 2 Общество (Принцип большинства) Пример 1 а в b a aPb, aIc и bIc в б Разбивка: транзитивность социальных предпочтений не работает. Из транзитивности для R следует транзитивность для I. Это означает, что aIc & cIb должно подразумевать aIb. Но мы есть aPb. Человек 1 Человек 2 Общество Пример 2 а в б а айбИК в б Разбивка: Парето (слабый или сильный) терпит неудачу, потому что aP1b и aP2b должны подразумевать aPb. Но у нас есть аИб. 5 Человек 1 Человек 2 Общество Пример 3 а в а б а в в б б Разбивка: нейтралитет терпит неудачу. Сравните социальное отношение к a и c, где два человека разделены, и человек 1 добивается своего, к социальному лечение b против c, где два человека разделены и человек 2 получает Его путь. Человек 1 Человек 2 Общество (1 - диктатор) Пример 4 а в а б а б в б в Распад: есть диктатор. Обратите внимание, что в примерах с 1 по 4 используется один и тот же профиль индивидуальных предпочтений, который удовлетворяет простому предположению о разнообразии. Следующий пример изменяет индивидуальные предпочтения: Человек 1 Человек 2 Общество (Принцип большинства) Пример 5 а в c a aIc б б aPb и cPb Разбивка: простое разнообразие терпит неудачу. Мнения больше не разделяются на две пары альтернативы. 4. Нейтралитет, независимость и некоторые предварительные парадоксы стрел. Одним из самых спорных исходных предположений Эрроу была независимость нерелевантных альтернатив. Мы не определили его выше, потому что он не играет прямой роли 6 в однопрофильных теоремах Эрроу; однако он скрывается за кадром. Поэтому мы определите его на этом этапе. Независимость Arrow требует наличия нескольких профили предпочтений, а чтобы разместить несколько профилей, мы будем использовать простые числа: Человек i отношение предпочтений обозначено выше как Ri, а отношение общества как R; в этот момент мы напишем Ri ′ и R ′ - альтернативные предпочтения для человека i и общества соответственно. Стрелки Условие независимости от нерелевантных альтернатив выглядит следующим образом: (6) Независимость. Пусть и 1 2 R R`` ... R - один набор индивидуальных и социальных отношения предпочтения и 1 2 R R ′,, ... ′ и R ′ - другое. Пусть x и y - любая пара альтернативы, при которых индивидуальные предпочтения для x по сравнению с y идентичны к ориентированным индивидуальным предпочтениям x по сравнению с y. Тогда непримиримые социальные предпочтение x vs. y должно быть идентично первичному социальному предпочтению x vs. y. Обратите внимание на параллель между предположением о независимости и предположением о нейтральности. Независимость требует нескольких профилей предпочтений, тогда как наша версия нейтралитета предполагает, что существует один профиль предпочтений. Независимость фокусируется на паре альтернатив и переключает между двумя профилями предпочтений, одним незагруженным, а другим заправленным. Это говорит, что если индивидуальные предпочтения x и y одинаковы для двух предпочтений профилей, то социальные предпочтения x vs. y должны быть такими же, как и x vs. y ориентированные социальные предпочтения. Это утверждение, конечно, бессмысленно, если есть только один профиль предпочтений. Самая близкая аналогия с одним профилем предпочтений - нейтралитет, который говорит, что если индивидуальные предпочтения относительно x по сравнению с y ниже одного фиксированного профиль предпочтений такой же, как и индивидуальные предпочтения относительно w и z под этим 7 профиля, то социальные предпочтения x и y должны быть такими же, как и социальные предпочтения w и z. предпочтение. Короче говоря, в однопрофильной модели независимость - пустое допущение, и ее естественная замена - нейтралитет. Эта естественная замена, однако, побудила Самуэльсона (1977) начать красочная (если не безудержная) атака, направленная на нейтралитет Кемпа и Нг (1976) предположение. Самуэльсон (1977) назвал нейтралитет, среди прочего, «чем угодно, но только не «Разумный», «беспричинный», имеющий «ложную видимость разумности», «Отвратительно с этической точки зрения», «чудовищно« неразумно »» и так далее. Он предложил следующий пример reductio ad absurdum: Шоколадные конфеты Самуэльсона. Есть два человека. Есть коробка 100 шоколадки, которые будут распределены между ними. Они оба любят шоколад, и каждый достаточно голодны, чтобы съесть их все. Альтернативы, скажем, 0 x = (100,0), , и т. д., где первое число - это количество конфет идёт к человеку 1, а второй - к человеку 2. 1 х = (99,1) 2 х = (98,2) Многие этические наблюдатели, глядя на это общество, сказали бы, что 1 x лучше. чем 0 х. То есть 1 0 x Px. То есть хорошо бы шоколадку взять с человеку 1, когда у него их 100, и передать человеку 2. Но теперь, после многократных применений нейтралитета, 100 тыс. X Px для любого! То есть общество должно отдать все конфеты человеку 2! k <100 8 Пример шоколадных конфет Самуэльсона - яркая атака на нейтралитет, но этого не следует рассматривается как веская причина отказаться от него. Один из ответов на этот пример - сказать, что общество не следует решать, что 1 x лучше, чем 0 x; если общество просто нашло 0 x и 1 x одинаково хорошо (вопреки инстинктам распространителей шоколада), нейтралитет означал бы, что все x социально безразличны. Это было бы было совершенно логично. Другой ответ - заметить, что нейтралитет - это свойство чрезвычайно важные и широко используемые процедуры принятия решений, особенно большинство голосование, и поэтому не может быть легко отклонено. Фактически, любая процедура социального решения который просто считает экземпляры i xP y, i yPx, i xI y, но не взвешивает силу чувств, удовлетворяет нейтралитет. Самуэльсон (1977) также предложил графический аргумент против теоремы Эрроу. с нейтралитетом, аргумент, который годы спустя был упрощен и улучшен Флербэем и Mongin (2005), а именно: Аргумент невозможности графической стрелки Флёрбэя и Монгина. Предполагать есть два человека и некоторый набор альтернатив x`` y z и так далее. Предположим, что индивиды обладают функциями полезности и поэтому, например, представляют уровень полезности человека 1 из альтернативы x. 1 u 2 u 1 u x () Рассмотрим следующий график: 9 u1 u2 и (х) ты (у) u (z) ты (ш) Уровни полезности индивидов 1 и 2 указаны на горизонтальной и вертикальной осях, соответственно. Каждая альтернатива отображается на графике как пара утилит, например представляет собой альтернативу. Начнем с и рисуем через него проходят горизонтальные и вертикальные линии, образуя 4 квадранта. 1 2 uz u z u z () ((), ()) = z u z () Теперь предположим полные и транзитивные социальные предпочтения, сильные Парето и нейтралитет. Возьмем две альтернативы, скажем x и y, векторы полезности которых находятся в пределах юго-восточный квадрант. Выберите их так, чтобы u x () находился к северо-востоку от u y (). Общество не может оставаться безразличным между z и x по следующим причинам: Во-первых, в силу нейтралитета, если бы общество было безразлично между z и x, оно также должны быть безразличны между z и. Во-вторых, если бы было безразлично между и y z x , а между z и в силу транзитивности должно быть безразлично между у х и у. Но в-третьих, поскольку u x () находится к северо-востоку от u y (), общество должно предпочесть x в y по Парето. 10 Следовательно, либо общество предпочитает z вместо x, либо общество предпочитает x. Предположим, что социальные предпочтения z х больше. Рассмотрим другую альтернативу. По нейтралитет, если он находится в северо-западном квадранте, общество должно предпочесть. По сильный Парето, если он находится в северо-восточном квадранте, общество должно предпочесть. По мнению Парето, если оно находится в юго-западном квадранте, общество должно предпочесть . Но этот аргумент устанавливает, что социальные предпочтения всегда в точности такие же, как у человека 1; то есть человек 1 - диктатор. Если бы мы начали с предположения социальные предпочтения закончились z w u w () z w u w () w z u w () z ш z x, человек 2 был бы диктатором. В короче говоря, график показывает невозможность стрелки. Графический интерфейс Fleurbaey / Mongin / (Samuelson) имеет два недостатка. аргумент невозможности. Во-первых, он имеет тот недостаток, что требует использования утилиты функций и, и будет проще отказаться от служебных функций и просто использовать отношения предпочтения для физических лиц. Во-вторых, он включает в себя решающее разнообразие предположение без явного указания на это. Предполагая существование тройки полезности векторов`` и, с их соответствующими положениями на диаграмме полезности, находится в На самом деле в точности предположение простого разнообразия: и 1, и 2 предпочитают x вместо y, но мнения разделились по x и z, и мнения разделились по y и z. В нашей теореме невозможности Эрроу 1 ниже мы сделаем это предположение явным. 1 u 2 u u x () u y () u z () 5. Теорема о невозможности стрелки 1, n = 2. Мы готовы обратиться к нашей собственной простой версии теоремы о невозможности Эрроу. в однопрофильной модели. В этом разделе мы предполагаем, что n = 2. Мы покажем 11 что наши 5 предположений, полные и транзитивные социальные предпочтения, сильный Парето, нейтралитет, простое разнообразие и отсутствие диктатора несовместимы. Сначала мы установим предложение 1, которое само по себе является очень сильным результатом. Этот предложение соответствует примеру шоколадных конфет Самуэльсона, и поэтому мы называем его Утверждение Самуэльсона о шоколаде 1. Затем мы доказываем нашу первую простую версию Теорема Эрроу1 . Шоколад Самуэльсона Предложение 1. Предположим, что n = 2. Предположим, что сильные Принцип Парето и нейтралитет. Предположим, что для некоторой пары альтернатив x и y, xPiy и yPjx. Предположим, что xPy. Тогда человек i - диктатор. Доказательство. Пусть w и z - произвольная пара альтернатив. Предположим, что wPiz. Нам нужно показать что wPz должен удерживаться. Если wRjz, то wPz по сильному Парето. Если не wRjz, то zPjw по полнота отношения предпочтения j, а затем wPz по нейтральности. QED. Стрелка Теорема о невозможности 1: Предположим, что n = 2. Предположения полной и переходные социальные предпочтения, сильный Парето, нейтралитет, простое разнообразие и Ни один диктатор не противоречит друг другу. Доказательство: Простым разнообразием существуют такие x, y и z, что xPiy для i = 1, 2, но так что мнения разделились относительно x и z, и y против z. Теперь xPy по принципу Парето, слабый или сильный. Поскольку мнения разделились на x vs. z один человек предпочитает x z, а другой предпочитает z x. Если xPz, то 1 В нашей теореме мы используем сильный Парето и нейтралитет, чтобы получить невозможность. С почти идентичным доказательством того, что мы могли бы заменить слабое Парето на нейтральность / монотонность, где нейтральность / монотонность усиленная версия нейтралитета, о которой будет сказано ниже. 12 человек, который предпочитает x вместо z, является диктатором по предложению 1. Если zPx, то человек Кто предпочитает z вместо x, по утверждению 1 - диктатор. Предположим тогда, что xIz. Затем zIx. По транзитивности из zIx и xPy следует zPy. Но мнения разделились относительно y и z. Поэтому один человек предпочитает z вместо y, а другой человек предпочитает y вместо z. Согласно утверждению 1, человек, предпочитающий z вместо y, является диктатором. Мы показали, что каким бы ни было социальное предпочтение x и z, должен быть диктатором. QED. 6. Попытка обобщить на модель n человек. Ниже мы попытаемся обобщить нашу версию теоремы Эрроу на общества. с произвольным количеством людей. С этого момента в статье мы предполагаем. В чтобы получить теорему о невозможности когда, нам нужно усилить некоторые из наших основные предположения. Начнем с предположения о нейтральности. Мы укрепим его до однопрофильный вариант того, что называется нейтральностью / монотонностью. (См. Blau & Deb (1977), которые называют многопрофильный аналог «полной нейтральностью и монотонностью»; Сен (1977), который называет это НИМ; и Поллак (1979), который называет это «неотрицательной реактивностью»). п ≥ 2 п ≥ 2 (3.b) Нейтральность / монотонность. Предположим, что поддержка w над z такая же сильная или сильнее, чем опора для x над y, и предположим противоположную опору для z над y. w, настолько же или слабее, чем поддержка y над x. Тогда, если социальная предпочтение отдается x над y, социальное предпочтение также должно быть относительно w над z. Больше формально: для всех x, y, z и w предположим, что для всех i xPiy влечет wPiz, и что for all i, zPiw implies yPix. Then xPy implies wPz. 13 Does this strengthening of the neutrality assumption, by itself, give us an Arrow impossibility theorem when ? The answer is No. In example 6 below there are 3 people and 4 alternatives, a, b, c and d. The preferences of individuals 1, 2 and 3 are shown in the first 3 columns of the table. The fourth column shows social preferences under majority rule, which is used here, as in examples 1 and 5, to generate the social preference relation. n ≥ 2 Person 1 Person 2 Person 3 Society (Majority Rule) Example 6 a c a a b a c c c b d b d d b d Breakdown: None. The complete and transitive social preferences assumption is satisfied, as are Pareto, neutrality/monotonicity, simple diversity, and no dictator. Majority rule works fine. There is no Arrow impossibility. Example 6 shows that when there is no Arrow impossibility, under the assumptions of complete and transitive social preferences, Pareto, neutrality/monotonicity, simple diversity, and no dictator. n ≥ 2 7. Diversity. In this section we will modify the diverse preferences assumption. Before doing so, let’s revisit the assumption in the n = 2 world. In that world, simple diversity says there must exist a triple of alternatives x, y, z, such that xPiy for i = 1, 2, but such that opinions are split on x vs. z and on y vs. z. That is, one person prefers x 14 to z, while the other prefers z to x, and one person prefers y to z, while the other prefers z to y. Given our assumption that individual preferences are transitive, it must be the case that the two people’s preferences over the triple can be represented as follows: Simple diversity array, n = 2. Person i Person j x z y x z y Note that this is exactly the preference profile pattern of examples 1, 2, 3 and 4. The reader familiar with social choice theory may recognize the preferences in this table as being two thirds of the Condorcet voting paradox preferences, as shown below: Condorcet voting paradox array. Person i Person j Person k x z y y x z z y x A similar array of preferences is used by Arrow in the proof of his impossibility theorem (e.g. Arrow (1963), p. 58), and by many others since, including Feldman & Serrano (2006), p. 294. For the moment, assume V is any non-empty set of people in society, that VC is the complement of V, and that V is partitioned into two non-empty subsets V1 and V2. (Note that VC may be empty.) The standard preference array used in many versions of Arrow’s theorem looks like this: 15 Standard Arrow array. People in V1 People in V2 People in VC x z y y x z z y x Now, let’s return to the question of how to modify the diverse preferences assumption. Example 6 shows that we cannot stick with the simple diversity array and still get an impossibility result. We might start with the Condorcet voting paradox array, but if , we would have to worry about the preferences of people other than i, j and k. That suggests using something like the standard Arrow array. However, assuming the existence of a triple x, y, and z, and preferences as per that array, for every subset of people V and every partition of V, is an unnecessarily strong diversity assumption. n ≥ 4 An even stronger diversity assumption was in fact used by Parks (1976), Pollak and other originators of single-profile Arrow theorems. Pollak (1979) is clearest in his definition. His condition of “unrestricted domain over triples” requires the following: Imagine “any logically possible sub-profile” of individual preferences over 3 “hypothetical” alternatives x, y and z. Then there exist 3 actual alternatives a, b and c for which the sub-profile of preferences exactly matches that “logically possible sub-profile” over x, y and z. We will call this Pollak diversity. Let us consider what this assumption requires in the simple world of strict preferences, 2 people, and 3 alternatives. Pollak diversity would require that every one of the following arrays be represented, somewhere in the actual preference profile of the two people over the actual alternatives: 16 Pollak diversity arrays, n = 2. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x y x y x z x z y y y z y x y z y x y y z z z y z z z x z y z x Note that the number of arrays in the table above is 3! = 6. If n were equal to 3 we would have triples of columns instead of pairs, and there would have to be (3!)2 = 36 such triples. With n people, the number of required n-tuples would be (3!)n-1. In short, the number of arrays required for Pollak diversity rises exponentially with n. The number of alternatives rises with the number of required arrays, although not as fast because of array overlaps. Parks (1976) uses an assumption (“diversity in society”) that is very similar to Pollak’s, although not so clear, and he indicates that it “requires at least 3n alternatives...” We believe Pollak diversity is much stronger than necessary, and we will proceed as follows. We will not assume the existence of a triple x, y and z to give every conceivable array of preferences on that triple. We will not even assume a triple x, y and z to give every possible array for given V, V1, V2, and VC , as per the description of the standard Arrow array. We will only assume the existence of the required Arrow-type triple, and we will only assume that much when the Arrow array matters. For the purposes of our proof, the Arrow array assumption only matters if V is a decisive set. We say that a set of people V is decisive if it is non-empty and if, for all alternatives x and y, if xPiy for all i in V, then xPy. It is appropriate to make a few comments about the notion of decisiveness. First, note that if person i is a dictator, then i by himself is a decisive set, and any set containing 17 i is also decisive. Also, note that the Pareto principle (weak or strong) implies the set of all people is decisive. Second, in a multi-preference profile world, decisiveness for V would be a far stronger assumption that it is in the single-profile world, since it would require that (the same) V prevail no matter how preferences might change. We only require that V prevail under the given fixed preference profile. Our diversity assumption is now modified as follows: (5.b) Complex diversity. For any decisive set V with 2 or more members, there exists a triple of alternatives x, y, z, such that xPiy for all i in V; such that yPiz and zPix for everyone outside of V; and such that V can be partitioned into non-empty subsets V1 and V2, where the members of V1 all put z last in their rankings over the triple, and the members of V2 all put z first in their rankings over the triple. The assumption of complex diversity means that for a decisive set V with 2 or more members, there is a triple x, y, and z, and a partition of V, which produces exactly the standard Arrow array shown above. Simple diversity and complex diversity are related in the following way: If n = 2 and weak Pareto holds, they are equivalent. If n > 2, neither one implies the other, but they are both implied by Pollack diversity. Referring back to example 6 of the previous section, consider persons 2 and 3. Under simple majority rule, which was assumed in the example, they constitute a decisive coalition. However the complex diversity assumption fails in the example, 18 because there is no way to define the triple x, y, z so as to get the standard Arrow array, when V = {2, 3}. Therefore complex diversity rules out that example. Example 7 below modifies example 6 so that, for the decisive set V = {2, 3}, the preference profile is consistent with complex diversity. (This example is created from example 6 by switching alternatives a and b in person 3’s ranking. Let V1 = {2}, V2 = {3}, and VC = {1}. The triple x, y, z is now c, a, b.) Now that preferences have been modified consistent with our new diversity assumption, an Arrow impossibility pops up. Person 1 Person 2 Person 3 Society (Majority Rule) Example 7 a c b b a c aPb, bPc, cPa c b d aPd, bPd, cPd d d a Breakdown: Transitivity for social preferences fails, with a P cycle among a,b,c . Example 7 could be further modified by dropping alternative d, in which case it would become the Condorcet voting paradox array. It would then have 3 people and 3 alternatives, and would satisfy complex diversity. Recall that Pollack diversity in the 3 person case would require at least 36 n-tuples of alternatives, and that Parks diversity would require at least alternatives. The point here is that that complex diversity is a much less demanding assumption, and requires many fewer alternatives, than Pollack diversity. 3 27 n = 19 8. Arrow/Pollak Impossibility Theorem 2, n ≥ 2 . We now proceed to a proof of our second single-profile Arrow’s theorem, which, unlike our first proof, is not restricted to a 2-person society.2 Although Pollak made a much stronger diversity assumption than we use, and although Parks (1976), Hammond (1976), and Kemp and Ng (1976), preceded Pollak with single-profile Arrow theorems, we will call this the Arrow/Pollak Impossibility Theorem, because of the similarity of our proof to his. But first, we need a proposition paralleling proposition 1: Proposition 2: Assume , and neutrality/monotonicity. Assume there is a non-empty group of people V and a pair of alternatives x and y, such that xP n ≥ 2 iy for all i in V and yPix for all i not in V. Suppose that xPy. Then V is decisive. Proof: This follows immediately from neutrality/monotonicity. QED. Arrow/Pollak Impossibility Theorem 2: Assume . The assumptions of complete and transitive social preferences, weak Pareto, neutrality/monotonicity, complex diversity, and no dictator are mutually inconsistent. n ≥ 2 Proof: By the weak Pareto principle, the set of all individuals is decisive. Therefore decisive sets exist. Let V be a decisive set of minimal size, that is, a decisive set with no proper subsets that are also decisive. We will show that there is only one person in V, which will make that person a dictator. This will establish Arrow’s theorem. Suppose to the contrary that V has 2 or more members. By the complex diversity assumption there is a triple of alternatives x, y, and z, and a partition of V 2 There is a similar proof, but for a for a multi-profile Arrow’s theorem, in Feldman & Serrano (2006). 20 into non-empty subsets V1 and V2, giving the standard Arrow array as shown above. Since V is decisive, it must be true that xPy. Next we consider the social preference for x vs. z. Case 1. Suppose zRx. Then zPy by transitivity. Then V2 becomes decisive by proposition 2 above. But this is a contradiction, since we assumed that V was a decisive set of minimal size. Case 2. Suppose not zRx. Then the social preference must be xPz, by completeness. But in this case V1 is getting its way in the face of opposition by everyone else, and by proposition 2 above V1 is decisive, another contradiction. QED. 9. Innocuous Dictators. In the standard multi-profile world, where all preference profiles are allowed (the so-called “universality,” or “full domain” assumption) a dictator is a very bad thing indeed. A dictator in such a world forces his (strict) preference for x over y even if everyone else prefers y over x. In our single-profile world, on the other hand, a dictator may be innocuous. For instance, if person i is indifferent between all pairs of alternatives, he is by definition a dictator, although a completely benign one. Or, if everyone has exactly the same preferences over the alternatives, and weak Pareto is satisfied, then every one is a dictator. Or, if in a committee of 5 people, 3 have identical preferences, and if they use majority rule, then the 3 with identical preferences are all dictators. (Note however that in a standard median voter model, the median voter is not necessarily a dictator. While his favorite alternative may be the choice of the committee, 21 the committee’s preferences over all pairs of alternatives will not necessarily agree with his preferences over those pairs of alternatives.) Therefore we need to make a few final comments about why dictatorship should worry us, even though some dictators are innocuous. First, while we assume a singleprofile world in this paper, and while for certain given profiles dictatorship doesn’t look bad, we must remember that there can be other single-profile worlds with different given preference profiles. So, while in some cases an innocuous dictatorship is acceptable, in many other cases it is very much unacceptable. Second, we could easily get rid of the benign dictator who is indifferent among all alternatives by assuming away individual indifference. All the arguments and theorems would remain. Third, both of our diversity assumptions exclude vacuous dictatorship cases like the one in which all individuals have exactly the same preferences, or the one in which 3 individuals have identical preferences in a committee of 5, using majority rule. In sum, even though single-profile analysis permits innocuous dictators, dictatorship remains a very bad thing, and Arrow’s theorem remains important. 10. Conclusions. We have presented two new single-profile Arrow impossibility theorems which are simple and transparent. The first theorem, which requires n = 2 , relies on a very simple and modest assumption about diversity of preferences within the given preference profile, and on a relatively modest neutrality assumption. The second theorem, which allows , uses a substantially more complex assumption about diversity of preferences within the given profile, and uses a stronger neutrality/monotonicity n ≥ 2 22 assumption. Both theorems support the claim that Arrow impossibility happens even if individual preferences about alternatives are given and fixed. 23 References 1. Arrow, Kenneth (1950), “A Difficulty in the Concept of Social Welfare,” Journal of Political Economy, V. 58, pp. 328-346. 2. Arrow, Kenneth (1963), Social Choice and Individual Values, 2nd Edition, John Wiley & Sons, New York. 3. Bergson, Abram (1938), “A Reformulation of Certain Aspects of Welfare Economics,” Quarterly Journal of Economics, V. 52, pp. 310-334. 4. Blau, Julian, and Deb, Rajat (1977), “Social Decision Functions and the Veto,” Econometrica, V. 45, pp. 871-879. 5. Campbell, Donald, and Kelly, Jerry (2002), “Impossibility Theorems in the Arrovian Framework,” in Arrow, Kenneth; Sen, Amartya; and Suzumura, Kotaro, eds., Handbook of Social Choice and Welfare, Volume 1, Elsevier Science, Amsterdam. 6. Day, William and McMorris, F. R. (2003), Axiomatic Consensus Theory in Group Choice and Biomathematics, SIAM, Philadelphia. 7. Feldman, Allan, and Serrano, Roberto (2006), Welfare Economics and Social Choice Theory, 2nd edition, Springer, New York. 8. Fleurbaey, Marc, and Mongin, Philippe (2005), “The news of the death of welfare economics is greatly exaggerated,” Social Choice and Welfare, V. 25, pp. 381-418. 9. Geanakoplos, John (2005), “Three Brief Proofs of Arrow’s Impossibility Theorem, Economic Theory, V. 26, pp. 211-215. 10. Hammond, Peter (1976), “Why Ethical Measures of Inequality Need Interpersonal Comparisons,” Theory and Decision, V. 7, pp. 263-274. 24 11. Kemp, Murray, and Ng, Yew-Kwang (1976), “On the Existence of Social Welfare Functions, Social Orderings and Social Decision Functions,” Economica, V. 43, pp. 59- 66. 12. Parks, Robert (1976), “An Impossibility Theorem for Fixed Preferences: A Dictatorial Bergson-Samuelson Welfare Function,” Review of Economic Studies, V. 43, pp. 447-450. 13. Pollak, Robert (1979), “Bergson-Samuelson Social Welfare Functions and the Theory of Social Choice,” Quarterly Journal of Economics, V. 93, pp. 73-90. 14. Reny, Philip (2001), “Arrow's Theorem and the Gibbard-Satterthwaite Theorem: a Unified Approach,” Economics Letters, V. 70, pp. 99-105. 15. Roberts, Kevin (1980), “Social Choice Theory: The Single-profile and Multi-profile Approaches,” Review of Economic Studies, V. 47, pp. 441-450. 16. Rubinstein, Ariel (1984), “The Single Profile Analogues to Multi-Pprofile Theorems: Mathematical Logic’s Approach,” International Economic Review, V. 25, pp. 719-730. 17. Samuelson, Paul (1967), “Arrow’s Mathematical Politics,” in S. Hook, ed., Human Values and Economics Policy, New York University Press, New York, pp. 41-52. 18. Samuelson, Paul (1977), “Reaffirming the Existence of ‘Reasonable’ BergsonSamuelson Social Welfare Functions,” Economica, V. 44, pp. 81-88. 19. Sen, Amartya (1977), “Social Choice Theory: A Re-Examination,” Econometrica, V. 45, pp. 53-89. 20. Suzumura, Kotaro (2002), “Introduction,” in Arrow, Kenneth; Sen, Amartya; and Suzumura, Kotaro, eds., Handbook of Social Choice and Welfare, Volume 1, Elsevier Science, Amsterdam. 25 21. Ubeda, Luis (2004), “Neutrality in Arrow and Other Impossibility Theorems,” Economic Theory, V. 23, pp. 195-204. 26

Женская Фигура

Женская Красота

Лицо

Косметика

женские эмоции?

рот

Лицо

актрисы